Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 122
Eine Größe F , die nicht explizit von der Zeit abhängt, ist genau dann eine Erhaltungsgröße,
wenn die mit F und der Hamiltonfunktion H gebildete Poissonklammer
verschwindet:
∂F
∂t
= dF
dt
= 0, ⇐⇒
F, H = 0.
Die Poissongleichungen zwischen Paaren von Koordinaten und Impulsen lauten,
qn, qm = 0,
pn, pm = 0,
qn, pm = − pm, qn = δnm. (6.11)
Die Poissongleichungen erfüllen folgende algebraische Identitäten:
u, v = − v, u
λu + µv, w = λ u, w + µ v, w
uv, w = u, w v + u v, w
u, v , w + w, u , v + v, w , u = 0.
Die letzte Gleichung heißt Jacobi-Identität.
In der Quantenmechanik werden die Variablen p und q zu Operatoren und die Poissonklammern
zu Kommutatoren. Die Gleichungen (6.11) bilden die Grundlage für
die Quantisierung eines mechanischen Systems.
6.4 Kanonische Transformationen
In der Lagrangetheorie können beliebige verallgemeinerte Koordinaten gewählt werden.
Bei einer Koordinatentransformation q −→ Q = Q(q, t) bleibt die Form der
Lagrangegleichungen erhalten.
In der Hamiltonschen Theorie lassen sich Koordinaten und Impulse gemeinsam
transformieren. Man nennt eine solche Transformation kanonisch, wenn dabei die
Form der kanonischen Gleichungen erhalten bleibt. Eine kanonische Transformation
besitzt demnach die Form
q −→ Q = Q(p, q, t), p −→ P = P (p, q, t), H −→ K = K(P, Q, t). (6.12)
Hierbei bezeichnen Q die neuen Koordinaten, P die neuen Impulse und K eine neue
Hamiltonfunktion. Diese erfüllen die kanonischen Bewegungsgleichungen,
˙Qn = ∂K
,
∂Pn
Pn
˙ = − ∂K
. (6.13)
∂Qn
Kanonische Transformationen können durch Umeichungen der Larangefunktion erzeugt
werden. Bei einer solchen Umeichung bleiben die Bewegungsgleichungen invariant.
Wir fordern daher, daß sich die Lagrangefunktionen des modifizierten Hamiltonschen
Prinzips in den alten und neuen Koordinaten nur durch eine totale
Zeitableitung voneinander unterscheiden,