Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 14
Lineares Kraftgesetz
Ist die Kraft linear in x und ˙x, so sind spezielle Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen
anwendbar. Ein wichtiges Beispiel hierzu ist der harmonische
Oszillator, der im folgenden Abschnitt ausführlich behandelt wird.
2.2 Harmonischer Oszillator
Ein harmonischer Oszillator führt harmonische Schwingungen aus, die durch die
Kreisfunktionen Sinus und Kosinus beschriebenen werden. Physikalisch wird der
harmonische Oszillator in guter Näherung durch eine an einer elastischen Feder
aufgehängte Masse realisiert. Allerdings gibt es viele weitere physikalische Anwendungen,
da das Modell allgemeine Eigenschaften eines Systems in der Nähe eines
Gleichgewichts beschreibt.
In der Umgebung eines Gleichgewichtspunktes, x = 0, v = 0, kann eine allgemeine
Kraft F (x, v) durch die lineare Approximation
F (x, v) = F (0, 0) + ∂F
x +
∂x
∂F
v (2.10)
∂v
x=0,v=0
dargestellt werden. Für ein stabiles Gleichgewicht gilt
F (0, 0) = 0,
∂F
∂x
= −f,
∂F
∂v
x=0,v=0
x=0,v=0
x=0,v=0
= −2mβ,
mit positiven Konstanten f und β. Die Kraft besteht in dieser Näherung aus einer
zur Auslenkung proportionalen Rückstellkraft
Fx = −fx
und einer zur Geschwindigkeit proportionalen Reibungskraft
Fv = −2mβv
Die Bewegungsgleichung einer Masse m in der Nähe eines Gleichgewichtspunktes
besitzt daher die allgemeine Form
¨x + 2β ˙x + ω 2 0x = 0, ω0 = f/m. (2.11)
Sie wird als die Bewegungsgleichung oder Schwingungsgleichung des gedämpften
harmonischen Oszillators bezeichnet. Für β = 0 ist der Oszillator ungedämpft.