Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Kapitel 5
Lagrangesche Mechanik
Die Behandlung von Systemen von Massenpunkten mit Zwangsbedingungen erfordert
eine Erweiterung der Newtonschen Mechanik. Die Einführung von Zwangskräften
führt zu den Lagrangegleichungen erster Art, die von generalisierten Koordinaten
zu den Lagrangegleichungen zweiter Art.
Die Lagrangegleichungen können auch aus Variationsprinzipien abgeleitet werden.
Das d’Alembertsche Prinzip ist äquivalent zu den Lagrangegleichungen erster Art,
das Hamiltonsche Prinzip zu den Lagrangegleichungen zweiter Art. Im Rahmen des
Hamiltonschen Variationsprinzips formuliert das Noether-Theorem den allgemeinen
Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen.
5.1 Systeme mit Zwangsbedingungen
5.1.1 Zwangsbedingungen
Ein System aus N freien Massenpunkten besitzt 3N Freiheitsgrade. Diese entsprechen
den Lagekoordinaten der Massenpunkte im dreidimensionalen Raum. Ist ein
Massenpunkt Teil eines mechanischen Systems, so kann die Zahl seiner Freiheitsgrade
durch äußere Vorgaben eingeschränkt sein. Beim ebenen Pendel bewegt sich die
Masse auf einer Kreisbahn und besitzt daher nur noch einen Freiheitsgrad. Bedingungen,
die die Zahl der Freiheitsgrade einschränken, werden Zwangsbedingungen
genannt.
Physikalische Systeme mit Zwangsbedingungen sind in der Technik sehr verbreitet.
Bei mechanischen Maschinen werden die beweglichen Teile, wie Kolben und Räder,
so geführt, daß meist schon ein Freiheitsgrad ausreicht um deren Stellung anzugeben.
Die Reduktion der Anzahl der Freiheitsgrade auf wenige relevante Freiheitsgrade ist
von prinzipieller Bedeutung. Viele Probleme werden erst auf diese Weise behandelbar.
Ein starrer Körper besteht z.B. aus unendlich vielen Massenpunkten. Da wir
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