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Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

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Kapitel 5<br />

Lagrangesche <strong>Mechanik</strong><br />

Die Behandlung von Systemen von Massenpunkten mit Zwangsbedingungen erfordert<br />

eine Erweiterung der Newtonschen <strong>Mechanik</strong>. Die Einführung von Zwangskräften<br />

führt zu den Lagrangegleichungen erster Art, die von generalisierten Koordinaten<br />

zu den Lagrangegleichungen zweiter Art.<br />

Die Lagrangegleichungen können auch aus Variationsprinzipien abgeleitet werden.<br />

Das d’Alembertsche Prinzip ist äquivalent zu den Lagrangegleichungen erster Art,<br />

das Hamiltonsche Prinzip zu den Lagrangegleichungen zweiter Art. Im Rahmen des<br />

Hamiltonschen Variationsprinzips formuliert das Noether-Theorem den allgemeinen<br />

Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen.<br />

5.1 Systeme mit Zwangsbedingungen<br />

5.1.1 Zwangsbedingungen<br />

Ein System aus N freien Massenpunkten besitzt 3N Freiheitsgrade. Diese entsprechen<br />

den Lagekoordinaten der Massenpunkte im dreidimensionalen Raum. Ist ein<br />

Massenpunkt Teil eines mechanischen Systems, so kann die Zahl seiner Freiheitsgrade<br />

durch äußere Vorgaben eingeschränkt sein. Beim ebenen Pendel bewegt sich die<br />

Masse auf einer Kreisbahn und besitzt daher nur noch einen Freiheitsgrad. Bedingungen,<br />

die die Zahl der Freiheitsgrade einschränken, werden Zwangsbedingungen<br />

genannt.<br />

<strong>Physik</strong>alische Systeme mit Zwangsbedingungen sind in der Technik sehr verbreitet.<br />

Bei mechanischen Maschinen werden die beweglichen Teile, wie Kolben und Räder,<br />

so geführt, daß meist schon ein Freiheitsgrad ausreicht um deren Stellung anzugeben.<br />

Die Reduktion der Anzahl der Freiheitsgrade auf wenige relevante Freiheitsgrade ist<br />

von prinzipieller Bedeutung. Viele Probleme werden erst auf diese Weise behandelbar.<br />

Ein starrer Körper besteht z.B. aus unendlich vielen Massenpunkten. Da wir<br />

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