Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 89
Die transformierte Beschleunigung wird durch die Bewegungsgleichung
¨x ′ = m −1 · (F ′ + Z ′ ), F ′
i = αiFi, Z ′ i = αiZi
bestimmt. Ihre Komponente in Richtung der transformierten Normalen (5.23) wird
durch die Zwangsbedingung vorgegeben. Unter der Annahme, daß die Zwangsbeschleunigung
nur in Richtung der Hyperflächennormale auftritt, folgt für die transformierte
Zwangskraft der Ansatz
Z ′ = λm · A ′ .
Der Parameter λ wird durch die vorgegebene Normalenkomponente der Beschleunigung
bestimmt,
A ′ · ¨x ′ = A ′ · m −1 · F ′ + λA ′ · A ′ = −C
λ = − C + A′ · m −1 · F ′
A ′ · A ′ . (5.24)
Damit erhält man für die ursprüngliche Zwangskraft den Ausdruck
Zi = λ mi
α2 Ai . (5.25)
i
Obwohl diese Zwangskraft für beliebige αi die Zwangsbedingung erfüllt, genügt sie
im allgemeinen nicht dem d’Alembertschen Prinzip. Um auch letzteres zu erfüllen
muß Z in Richtung der Normalen A gewählt werden. Dies ist aber nur möglich falls
αi = α √ mi
wobei α eine von i unabhängige Konstante darstellt. Da eine Proportionalitätskonstante
bereits durch λ berücksichtigt wurde, kann ohne Einschränkung α = 1 gesetzt
werden. Für Systeme mit unterschiedlichen Massen mi stellt das d’Alembertsche
Prinzip also eine wesentliche zusätzliche Forderung dar. Der Grund hierfür ist, daß
dann Beschleunigungen und Kräfte im Konfigurationsraum linear unabhängige Vektoren
sind.
5.3 Lagrangegleichungen zweiter Art
Für Systeme mit holonomen Zwangsbedingungen können die Zwangskräfte durch
eine geeignete Koordinatenwahl eliminiert werden. Dies führt zu den Lagrangegleichungen
zweiter Art. Nicht-holonome Zwangsbedingungen müssen weiterhin durch
die Gleichungen erster Art beschrieben werden.