Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 91
Abbildung 5.6: Generalisierte
Koordinaten und lokale Basis auf
der Hyperfläche.
Da die δqn unabhängig voneinander beliebig gewählt werden können, muß jeder
Koeffizient einzeln verschwinden,
(m · ¨x − F ) · a n = 0, n = 1, · · · , f. (5.30)
Dies sind die Komponenten der Bewegungsgleichung entlang der lokalen Basis. Damit
wurden genau f Bewegungsgleichungen für die f Freiheitsgrade der Hyperfläche
gewonnen. Die Zwangskräfte wurden durch die Koordinatenwahl eliminert.
Generalisierte Geschwindigkeiten
In den Bewegungsgleichungen (5.30) müssen x und ¨x durch die generalisierten Koordinaten
q ausgedrückt werden.
Für die Geschwindigkeit erhält man aus (5.27) das Transformationsgesetz
f ∂x(q, t) ∂x(q, t)
˙x =
˙qn + = v(q, ˙q, t) (5.31)
∂qn ∂t
n=1
Man bezeichnet ˙q = ( ˙q1, · · · , ˙qf) als generalisierte Geschwindigkeiten und behandelt
in der Transformationsgleichung (5.31) q, ˙q, und t als unabhängige Variablen. Dann
gilt
∂v
∂ ˙qn
d ∂x
dt ∂qn
= ∂x
∂qn
f ∂
=
2x ∂qm∂qn
m=1
˙qm + ∂2 x
∂t∂qn
(5.32)
= ∂v
. (5.33)
∂qn