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Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

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<strong>Theoretische</strong> <strong>Physik</strong>: <strong>Mechanik</strong> WS 02/03, H.-J. Kull 91<br />

Abbildung 5.6: Generalisierte<br />

Koordinaten und lokale Basis auf<br />

der Hyperfläche.<br />

Da die δqn unabhängig voneinander beliebig gewählt werden können, muß jeder<br />

Koeffizient einzeln verschwinden,<br />

(m · ¨x − F ) · a n = 0, n = 1, · · · , f. (5.30)<br />

Dies sind die Komponenten der Bewegungsgleichung entlang der lokalen Basis. Damit<br />

wurden genau f Bewegungsgleichungen für die f Freiheitsgrade der Hyperfläche<br />

gewonnen. Die Zwangskräfte wurden durch die Koordinatenwahl eliminert.<br />

Generalisierte Geschwindigkeiten<br />

In den Bewegungsgleichungen (5.30) müssen x und ¨x durch die generalisierten Koordinaten<br />

q ausgedrückt werden.<br />

Für die Geschwindigkeit erhält man aus (5.27) das Transformationsgesetz<br />

f ∂x(q, t) ∂x(q, t)<br />

˙x =<br />

˙qn + = v(q, ˙q, t) (5.31)<br />

∂qn ∂t<br />

n=1<br />

Man bezeichnet ˙q = ( ˙q1, · · · , ˙qf) als generalisierte Geschwindigkeiten und behandelt<br />

in der Transformationsgleichung (5.31) q, ˙q, und t als unabhängige Variablen. Dann<br />

gilt<br />

∂v<br />

∂ ˙qn<br />

d ∂x<br />

dt ∂qn<br />

= ∂x<br />

∂qn<br />

f ∂<br />

=<br />

2x ∂qm∂qn<br />

m=1<br />

˙qm + ∂2 x<br />

∂t∂qn<br />

(5.32)<br />

= ∂v<br />

. (5.33)<br />

∂qn

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