Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 88
genügen. Das zugehörige Gleichungssystem nennt man die Lagrangegleichungen erster
Art,
m · ¨x = F + Z, Z =
k
λ l A l , A l · dx + B l dt = 0. (5.20)
l=1
Dies sind 3N + k Gleichungen für 3N Koordinaten xi und k Parameter λ l .
Diskussion des d’Alembertschen Prinzips
Am Beispiel einer linear differentiellen Zwangsbedingung zeigen wir explizit wie diese
Zwangsbedingung in Verbindung mit dem d’Alembertschen Prinzip die Zwangskraft
bestimmt.
Wir fragen zuerst in welcher Weise eine linear differentielle Zwangsbedingung die
tatsächliche Bewegung einschränkt. Aus (5.4) erhält man für die Geschwindigkeiten
der Massenpunkte die Bedingung
A(x, t) · v(t) = −B(x, t). (5.21)
Sie bestimmt die Geschwindigkeit in Richtung der Hyperflächennormalen. Für skleronome
Zwangsbedingungen ist diese Geschwindigkeitskomponente Null, für rheonome
eine vorgegebene Funktion. Eine entsprechende Aussage läßt sich auch für
die Beschleunigung machen. Differenziert man (5.21) nach der Zeit, so folgt eine
Bedingung für die Normalenkomponente der Beschleunigung
A(x, t) · ¨x(t) = −C(x, v, t), C(x, v, t) = ˙ B + ˙
A · v. (5.22)
Sie muß von der Lösung der Bewegungsgleichung mit einer Zwangskraft Z,
erfüllt werden.
m · ¨x = F + Z,
Wir zeigen nun, daß man die vorgegebene Beschleunigung unter gleichen Voraussetzungen
für eine ganze Klasse von Zwangskräften erreichen könnte. Das
d’Alembertsche Prinzip ist dann notwendig, um die physikalisch richtige Zwangskraft
zu bestimmen. Dazu betrachten wir eine Transformation, bei der jede Koordinate
um einen konstanten Faktor αi gestreckt wird,
x ′ i = αixi
Diese Transformation bewirkt eine Deformation der Hyperfläche und eine entsprechende
Änderung der Hyperflächennormalen. Aus der Invarianz der Zwangsbedingung
in (5.20) oder (5.22) folgt für die Normale das Transformationsgesetz,
A ′ i = Ai/αi . (5.23)