Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 111
Der erste Term bezeichnet die Geschwindigkeit des Bezugspunktes, der zweite die
Geschwindigkeit der Drehung um den Bezugspunkt. Die Komponenten der vektoriellen
Winkelgeschwindigkeit ω im körperfesten System werden mit
ω = pe1 + qe2 + re3. (5.85)
bezeichnet. Sie können in folgender Weise durch die Euler-Winkel ausgedrückt werden.
Die infinitesimale Drehung um dϕ = ωdt im Zeitintervall dt kann additiv aus
den Drehungen um die drei Eulerwinkel zusammengesetzt werden,
ω = ˙ φnφ + ˙ θnθ + ˙ ψnψ. (5.86)
Die hierbei angenommene Additivität infinitesimaler Drehungen zeigt man wie folgt:
dr1 = ω1×rdt
dr2 = ω2×(r + dr1)dt = ω2×rdt
dr = dr1 + dr2 = (ω1 + ω2)×rdt = ω×rdt
ω = ω1 + ω2. (5.87)
Die Komponenten von ω in K berechnen sich damit zu
5.7.4 Trägheitstensor
Kinetische Energie
p = ω · e1 = ˙ φ sin θ sin ψ + ˙ θ cos ψ
q = ω · e2 = ˙ φ sin θ cos ψ − ˙ θ sin ψ (5.88)
r = ω · e3 = ˙ φ cos θ + ˙ ψ
Die kinetischen Energie des starren Körpers kann durch Momente der Massenverteilung,
die Gesamtmasse M, den Schwerpunkt R, und den Trägheitstensor
ausgedrückt werden. Man findet
Θ =
ν
mν
2
rνI − rνrν
(5.89)
T = 1
2 Mv2 0 + 1
2 ω·Θ · ω + ω·(R×Mv0). (5.90)
Der erste Anteil ist die Translationsenergie des Bezugspunktes, der zweite die Rotationsenergie
um den Bezugspunkt. Als neue Größe tritt hierbei der Trägheitstensor