Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 119
drückt die Abhängigkeit dieser Funktion von den Variablen q, ˙q und t aus. In der
zweiten Zeile wurde nur die Definition der verallgemeinerten Impulse (6.1) substituiert.
Subtrahiert man davon das Differential
d
pn ˙qn =
pnd ˙qn + ˙qndpn
n
n
so erhält man das Differential einer Funktion, die von den Variablen q, p und t
abhängt
d L −
pnqn = ∂L
dqn − ˙qndpn +
∂qn
∂L
dt.
∂t
(6.2)
n
n
Man definiert die Hamiltonfunktion H = H(p, q, t) durch
H = H(p, q, t) =
pn ˙qn − L. (6.3)
Dies ist die Energie des Systems, ausgedrückt durch die Variablen q, p und t. Die
partiellen Ableitungen der Hamiltonfunktion nach diesen Variablen sind
∂H
∂pn
= ˙qn,
∂H
∂qn
n
= − ∂L
,
∂qn
H
∂t
= −∂L . (6.4)
∂t
Die partiellen Ableitungen der Hamiltonfunktion nach den verallgemeinerten Impulsen
bestimmen somit die verallgemeinerten Geschwindigkeiten. Die restlichen
partiellen Ableitungen sind bis auf das Vorzeichen unverändert.
Bewegungsgleichungen
Mit der Hamiltonfunktion lassen sich die Bewegungsgleichungen des Systems im
Phasenraum (q, p) angeben. Aus (5.39) und (6.4) erhält man die kanonischen Gleichungen,
˙qn = ∂H
, ˙pn = −
∂pn
∂H
∂qn
. (6.5)
Sie stellen ein Differentialgleichungessystem 1. Ordnung für die 2f Variablen (q, p)
dar.
Zyklische Variablen und Energieerhaltung
Hängt die Hamiltonfunktion nicht explizit von einer Koordinate ab, so ist der zugehörige
verallgemeinerte Impuls erhalten,
∂H
= 0 =⇒ pn = const.
∂qn