Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 95
Mit den partiellen Ableitungen
∂L
∂ ˙r
= m ˙r,
folgt aus (5.39) die Bewegungsgleichung
∂L
∂r
m¨r = −mg sin α .
= −mg sin α,
Dasselbe Ergebnis hatten wir in (5.7) mit der Newtonschen Bewegungsgleichung
abgeleitet. Die dort benötigte Zwangskraft tritt jetzt nicht mehr in Erscheinung.
5.3.3 Erhaltungsgrößen
Zyklische Koordinaten und generalisierte Impulse
Analog zur Impulserhaltung in der Newtonschen Mechanik folgt aus den Lagrangegleichungen
(5.39) der Erhaltungssatz
∂L
∂qn
Man bezeichnet die Größe
= 0 =⇒ pn = ∂L
∂ ˙qn
pn = ∂L
∂ ˙qn
= const. (5.40)
(5.41)
als generalisierten Impuls. Hängt die Lagrangefunktion nicht explizit von einer generalisierten
Koordinate qn ab, so nennt man diese Koordinate zyklisch. Für jede
zyklische Variable ist der zugehörige generalisierte Impuls erhalten.
Energieerhaltung
Der Energieerhaltungssatz kann in der Lagrangemechanik in der folgenden Form
angegeben werden
∂L
∂t
= 0 =⇒ E = pn ˙qn − L = const. (5.42)
Ist die Lagrangefunktion nicht explizit zeitabhängig, so ist die Energie E erhalten.
n