Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 18
mit den beiden Nullstellen,
λ1,2 = ±iω0.
Die allgemeine Lösung ist die Linearkombination
Die Anfangsbedingungen
x(t) = A1 exp(iω0t) + A2 exp(−iω0t). (2.24)
x0 = A1 + A2, v0 = iω0(A1 − A2)
bestimmen die Konstanten A1,2 zu
A1 = 1
x0 +
2
v0
, A2 =
iω0
1
x0 −
2
v0
iω0
Wie in Abbildung (2.4) dargestellt, können die komplexen Amplituden durch ihren
Betrag und ihre Phase ausgedrückt werden
x0 + i v0
ω0
= a exp(iϕ0).
Damit folgt wiederum die Lösung in der Form (2.22). Alternativ kann man A1,2
direkt in (2.24) einsetzen und erhält dann das Ergebnis
x(t) = x0 cos(ω0t) + v0
2.2.2 Freie gedämpfte Schwingungen
ω0
sin(ω0t). (2.25)
Um die Wirkung der Reibungskraft in der Schwingungsgleichung (2.11) zu veranschaulichen
betrachten wir zunächst zwei einfache Spezialfälle. Vernachlässigt man
die Rückstellkraft, so führt die Reibungskraft zu einer Abbremsung der Anfangsgeschwindigkeit
v0 eines Teilchens
˙v + 2βv = 0, v = v0e −2βt . (2.26)
Die Geschwindigkeit relaxiert mit der Rate 2β in den Ruhezustand. Vernachlässigt
man andererseits die Beschleunigung, so entsteht ein Kräftegleichgewicht von Reibungskraft
und Rückstellkraft. Dabei geht eine Anfangsauslenkung x0 in die Ruhelage
zurück,
2β ˙x + ω 2 0x0 = 0, x = x0e −(ω2 0 /2β)t . (2.27)
Die Auslenkung relaxiert mit der Rate ω 2 0/(2β). Relaxiert die Geschwindigkeit
schneller als die Auslenkung, β ≫ ω0, so ergibt sich eine stark gedämpfte aperiodische
Bewegung. Im umgekehrten Fall kehrt die Masse mit einer endlichen Geschwindigkeit
in die Ruhelage zurück, was zu periodischen Schwingungen führt.