Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 123
pn ˙qn − H =
Pn ˙ Qn − K + d
F (q, p, Q, P, t) (6.14)
dt
n
n
Hierbei ist F (q, p, Q, P, t) eine beliebige Funktion, die man erzeugende Funktion
der kanonischen Transformation nennt. Aufgrund der Transformationsgleichungen
(6.12) sind nur zwei der vier Variablen unabhängig voneinander. Ohne Einschränkung
können wir eine erzeugende Funktion F = F (q, Q, t) annehmen und
(6.14) in der Form
dF =
pndqn − PndQn − (H − K)dt (6.15)
schreiben. Daraus folgt
n
pn = ∂F
, Pn = −
∂qn
∂F
, K = H +
∂Qn
∂F
. (6.16)
∂t
Für eine gegebene Funktion F = F (q, Q, t) bestimmen die ersten beiden Gleichungen
die kanonische Transformation der Koordinaten und Impulse, die letzte Gleichung
stellt die Transformation der Hamiltonfunktion dar. Die erste Gleichung hat die
Form p = p(q, Q, t). Sie definiert implizit die neuen Koordinaten Q = Q(q, p, t). Die
zweite Gleichung besitzt die Form P = P (q, Q). Zusammen mit der ersten Gleichung
erhält man daraus die neuen Impulse.
Man kann erzeugende Funktionen wählen, die von anderen Variablenpaaren
abhängen, z.B. S = S(q, P, t). Durch Legendretransformation erhält man
dS = d F +
=
pndqn + QndPn − (H − K)dt. (6.17)
n
PnQn
n
Damit lauten die Transformationsgleichungen für die erzeugende Funktion S
pn = ∂S
, Qn =
∂qn
∂S
, K = H +
∂Pn
∂S
. (6.18)
∂t
6.5 Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung
Sei S(q, P, t) eine kanonische Transformation, die so gewählt ist, daß für die neue
Hamiltonfunktion K = 0 gilt. In diesem Fall sind die neuen Koordinaten und Impulse
konstant und stellen 2f Integrationskonstanten des Differentialgleichungssystems
dar.
Die zugehörige kanonische Transformation genügt nach (6.18) der Hamilton-Jacobi-
Differentialgleichung,
∂S
∂t
∂S
+ H(q, , t) = 0. (6.19)
∂q