Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 103
Einer Eichtransformation der Potentiale entspricht eine Eichtransformation der Lagrangefunktion,
L ′ = 1
2 mv2
− q φ ′ − 1
v · A′
c
= 1
2 mv2
− q φ − 1
c ∂tχ(r, t) − 1
1
v · A − v·∇χ(r, t)
c c
= L + d
q
χ(r, t) .
dt c
5.5 Symmetrien und Erhaltungsgrößen
Aus dem Hamiltonschen Prinzip folgt ein allgemeiner Zusammenhang zwischen Symmetrien
und Erhaltungsgrößen. Er wurde von der Mathematikerin Emmy Noether
abgeleitet und wird als Noether-Theorem bezeichnet.
Punkttransformationen
Beim Noether-Theorem betrachtet man Symmetrien gegenüber einer Klasse einparametriger
infinitesimaler Punkttransformationen,
q ′ = q + ɛψ(q, ˙q, t), t ′ = t + ɛφ(q, ˙q, t). (5.66)
Hierbei bezeichnet ψ = (ψ1, · · · , ψf) eine Transformation der verallgemeinerten Koordinaten,
φ eine Transformation der Zeit und ɛ einen infinitesimal kleinen Parameter.
Invarianzbedingung
Die Wirkung des Systems als Funktion der neuen Koordinaten sei
S ′ =
t ′ 2
t ′ 1
dt ′ L(q ′ , ˙q ′ , t ′ ).
mit einer Lagrangefunktion L ′ = L(q ′ , ˙q ′ , t ′ ). Für ɛ = 0 ergibt sich die identische
Abbildung. Die Lagrangefunktion des Systems als Funktion der alten Koordinaten
ist daher,
L = L(q ′ , ˙q ′ , t ′ ) ɛ=0 = L(q, ˙q, t).