Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 33
Entwickelt man einen beliebigen Vektor V nach der alten und der neuen Basis einer
passiven Drehung, so gilt
V =
Vjej =
j
j
V ′
j e ′ j,
V ′
i = e ′ i·V =
e ′ i·ejVj =
αijVj. (3.25)
j
Man bezeichnet Vi und V ′
i als Darstellungen des Vektors bezüglich der Basis S bzw.
S ′ . Diese Darstellungen können auch als Spaltenvektoren
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
V = ⎝
V1
V2
V2
⎠ , V ′ = ⎝
j
V ′
1
V ′
2
V ′
2
⎠ (3.26)
zusammengefaßt werden. Für diese Darstellungen gilt das Transformationsgesetz
V ′
i =
αijVj, V ′ = α·V . (3.27)
j
Bei einer aktiven Transformation bezeichnet umgekehrt V ′ die Darstellung des alten
Vektors und V die Darstellung des neuen Vektors. Demnach gilt hier die inverse
Transformation
Vi =
j
α T ijV ′
j , V = α T ·V ′
. (3.28)
Im folgenden werden Drehungen meist unter dem passiven Gesichtspunkt behandelt.
Aufgrund der Eigenschaften orthogonaler Transformationen bleiben Skalarprodukte
zwischen Vektoren invariant,
X ′ iY ′
i =
αimαinXmXn =
αimαin XmXn
i
i,m,n
n,m
=
δmnXmXn =
XmYm.
n,m
3.2 Beschleunigte Bezugssysteme
In beschleunigten Bezugssystemen treten in den Bewegungsgleichungen Zusatzterme
auf, die als Trägheitskräfte bezeichnet werden. Die Form der Bewegungsgleichungen
im beschleunigten System muß durch eine explizite Koordinatentransformation bestimmt
werden.
m
i