Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 10
Geschwindigkeitsabhängige Kraft
Ist die Kraft nur von der Geschwindigkeit abhängig, F = F (v), so bestimmt man
zunächst die Funktion t = t(v) durch
dt(v)
dv
= 1
˙v
t =
v0
v
= m
F (v)
′ m
dv
F (v ′ )
(2.1)
Die gesuchte Funktion v = v(t) ist die Umkehrfunktion von t = t(v). Die Umkehrfunktion
existiert lokal in der Umgebung eines Punktes v∗ falls t ′ (v∗) = 0. Dann
ist dt = t ′ (v∗)dv nach dv = dt/t ′ (v∗) auflösbar. Mit v(t) erhält man x(t) durch
Integration
Ortsabhängige Kraft
x(t) = x0 +
t
0
dt ′ v(t ′ ). (2.2)
Besondere Bedeutung haben Kräfte F = F (x), die nur vom Ort abhängen. Für
diese Kräfte existiert ein Energieerhaltungssatz. Multipliziert man die Bewegungsgleichung
mit ˙x, so gilt
m¨x ˙x = F (x) ˙x,
d 1
m ˙x2 =
dt 2 d
⎛
⎝
dt
x(t)
a
dx ′ F (x ′ )
Definiert man die kinetische Energie T (v) und die potentielle Energie U(x) durch
T (v) = 1
2 mv2 , U(x) = −
x
a
⎞
⎠ .
dx ′ F (x ′ ), U(a) = 0 (2.3)
mit einem beliebigen Bezugspunkt a, so folgt daraus der Energieerhaltungssatz
d
(T + U) = 0, T (v) + U(x) = E. (2.4)
dt
Die Gesamtenergie E ist eine Konstante, die bei der Bewegung, x = x(t), v = v(t)
erhalten bleibt.