Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Kapitel 6
Hamiltonsche Mechanik
Die mechanischen Bewegungsgleichungen können als ein 2f dimensionales Differentialgleichungssystem
erster Ordnung für Bewegungen im Phasenraum dargestellt
werden. An die Stelle der Lagrangefunktion tritt hier die Hamiltonfunktion. Die
Hamiltonsche Theorie ist von besonderer Bedeutung, da der Übergang zur Quantenmechanik
hier durch einfache Quantisierungsregeln vollzogen werden kann.
6.1 Kanonische Gleichungen
Die verallgemeinerten Impulse werden durch die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion
nach den verallgemeinerten Geschwindigkeiten definiert,
pn = pn(q, ˙q, t) = ∂L
. (6.1)
∂ ˙qn
Wir suchen nun umgekehrt eine Funktion, deren partielle Ableitungen nach den verallgemeinerten
Impulsen die verallgemeinerten Geschwindigkeiten bestimmen. Eine
solche Umkehrung läßt sich mit einer Legendretransformation erreichen.
Legendretransformation
Das totale Differential der Lagrangefunktion
dL = ∂L
dqn +
∂qn n
∂L
d ˙qn +
∂ ˙qn
∂L
∂t dt
= ∂L
dqn + pnd ˙qn +
∂qn
∂L
∂t dt
n
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