Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 62
Bei einer ungebundenen Bewegung kommt die Bahn aus dem Unendlichen, nähert
sich dem Kraftzentrum bis auf einen minimalen Abstand r0 und entfernt sich dann
wieder ins Unendliche.
Abbildung 4.8: Bahnkurven einer
ungebundenen Bewegung in einem
anziehenden (rechts) und einem
abstoßenden (links) Zentralpotential.
Die Bahn nähert sich
dem Zentrum bis zum minimalen
Abstand r0.
Bei einer gebundenen Bahn verläuft die Radialbewegung zwischen zwei Umkehrpunkten
rmin und rmax. Einem Umlauf im effektiven Potential von rmin nach rmax
und zurück nach rmin entspricht ein Winkelzuwachs
∆ϕ =
rmax
rmin
2Ldr
r 2 2m(E − Ueff)
(4.58)
für den Umlauf des Teilchens um das Kraftzentrum. Die Bahn des Teilchens verläuft,
wie in Abb. (4.9) dargestellt innerhalb eines Kreisringes, wobei sich die Radien
zu zwei aufeinanderfolgenden Scheitelpunkten der Bahn am äußeren bzw. inneren
Rand des Ringes um den Winkel (4.58) drehen. Die Bahn ist geschlossen, falls für
ganzzahlige m und n die Bedingung
m∆ϕ = n2π (4.59)
erfüllt wird. Dann schließt sich die Bahn nach m Umläufen im effektiven Potential
bzw. n Umläufen um das Kraftzentrum (Rosettenbahn). Ist ∆ϕ kein rationales Vielfaches
von 2π, so ist die Bahn offen und erfüllt nach beliebig vielen Umläufen den
gesamten Kreisring. Man kann zeigen, daß sie jedem Punkt des Kreisringes beliebig
nahe kommt und bezeichnet solche Bahnen als ergodisch.
Newtonsche Bewegungsgleichung: Zum selben Ergebnis gelangt man auch
durch direkte Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung
m¨r = m{(¨r − r ˙ϕ 2 )er + (r ¨ϕ + 2 ˙r ˙ϕ)eϕ} = −U ′ (r)er
(4.60)