Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 134
b α = 0 : homogene Lorentz-Transformation
b α = 0 : inhomogene Lorentz-Transformation
Invarianz der Metrik gegenüber Lorentz-Transformation:
ηαβdx α′
dx β′
= ηαβΛ α βΛ β δdx γ dx δ
!
= ηγδdx γ dx δ
Da diese Bedingung für beliebige dx α gelten soll gilt:
oder
(7.45)
ηγδ = ηαβΛ α γΛ β δ = (Λγ α ) T ηαβΛ β δ. (7.46)
η = Λ T ηΛ (7.47)
Vierervektoren: Koordinatendifferentiale transformieren sich bei Lorentztransformationen
wie
dx α′
= Λ α βdx β . (7.48)
Jede 4-komponentige Größe V α , die sich wie die Koordinatendifferentiale transformiert
heißt 4-Vektor:
V α′
= Λ α βV β
(7.49)
Lorentz-Skalare: Größen, die invariant sind gegenüber Lorentz-Transformationen
heißen Lorentz-Skalare:
s ′ = s (7.50)
Bsp.: s = ηαβV α V β , Eigenzeit, Eigenlänge
Kovariante u. kontravariante Komponenten
V α ≡ (V 0 , V 1 , V 2 , V 3 ) kontravariant
Vα ≡ (V0, V1, V2, V3) kovariant
Vα := ηαβV β = (−V 0 , V 1 , V 2 , V 3 ). (7.51)
Skalarprodukte können damit in der üblichen Form geschrieben werden
7.5 Relativistische Mechanik
s = ηαβV α V β = VαV α . (7.52)
Kovarianz: Gleichungen zwischen Skalaren, Vektoren oder allgemeiner Tensoren in
der 4-dimensionalen Raumzeit sind gegenüber Lorentz-Transformationen forminvariant.
Man nennt solche Gleichungen auch kovariant. Eine kovariante Gleichung ist
z.B.
a µ = b µ . (7.53)