Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 66
angenommen wird. Löst man nach r auf, so erhält man die Bahnkurve:
r =
p
1 + ɛ cos ϕ
(4.69)
Sie beschreibt Kegelschnitte mit Parameter p und Exzentrizität ɛ. Für ɛ < 1 sind
dies Ellipsen, für ɛ > 1 Hyperbeln, für ɛ = 1 Parabeln. Eine Kreisbahn (ɛ = 0)
ist ein Spezialfall einer Ellipse.
Ellipsenbahnen
Für ɛ im Intervall 0 < ɛ < 1 sind die Bahnkurven Ellipsen. Dieses Intervall entspricht
dem Energieintervall (4.66) für gebundene Bahnen im effektiven Potential.
Der Grenzfall ɛ = 0 entspricht dabei der Kreisbahn im Minimum des effektiven
Potentials.
Nach Abbildung (4.11) und gemäß der Polargleichung (4.69) bestehen für die Parameter
der Ellipse folgende Relationen,
2a = r1 + r2
rmin = r(0) = p
1 + ɛ , rmax = r(π) = p
1
a = 1
2 (rmin + rmax) = p
2
∆ = 1
2 (rmax − rmin) = p
2
b 2 + ∆ 2 = a 2 , b = √ 1 − ɛ 2 a
Daraus erhält man für die große Halbachse
und für die kleine Halbachse
a = p L2
=
1 − ɛ2 mα
b = √ 1 − ɛ 2 a =
, p = r(π/2)
1 −
ɛ
1
+ =
1 + ɛ 1 − ɛ
p
.
1 − ɛ2
1 1
− =
1 − ɛ 1 + ɛ
ɛp
= ɛa .
1 − ɛ2 2|E|L 2
mα 2
mα2 α
=
2|E|L2 2|E|
α
2|E| =
(4.70)
L
2m|E| . (4.71)
Der Halbparameter p ist eindeutig durch L bestimmt. Die große Halbachse a ist
eindeutig durch E bestimmt. Abbildung (4.12) zeigt schematisch die Ellipsenbahnen
als Funktion des Drehimpulses bei fester Energie und als Funktion der Energie bei
festem Drehimpuls.