Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 22
Aperiodischer Grenzfall (β = ω0)
In diesem Fall ist γ = Ω = 0 und das charakteristische Polynom besitzt die doppelte
Nullstelle λ1,2 = −β. Der obige Exponentialansatz ergibt hier nur eine partikuläre
Lösung. Die vollständige Lösung des aperiodischen Grenzfalls erhält man, indem
man in der Lösung des Anfangswertproblems (2.30) den Grenzübergang Ω → 0 zu
einer festen Zeit t ausführt. Mit
folgt
sin x
lim
x→0 x
= 1
x(t) = [x0 + (v0 + βx0)t] e −βt . (2.32)
Die Amplitude enthält hier einen linear in t anwachsenden Anteil.
2.2.3 Erzwungene Schwingungen
Wird ein harmonischer Oszillator mit einer harmonischen Kraft, F (t) = F0 cos(ωt),
angetrieben, so lautet die Bewegungsgleichung,
¨x + 2β ˙x + ω 2 0x = a0 cos(ωt), a0 = F0/m. (2.33)
Hierbei handelt es sich um eine inhomogene lineare Differentialgleichung. Ihre allgemeine
Lösung besitzt die Form,
x(t) = xh(t) + xs(t),
wobei xh(t) die allgemeine Lösung der bereits behandelten homogenen Differentialgleichung
(2.11) bezeichnet und xs(t) eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
darstellt. Offensichtlich erfüllt dieser Ansatz die Bewegungsgleichung
(2.33) und besitzt genau die erforderliche Anzahl von Integrationskonstanten
zur Erfüllung der Anfangsbedingungen.
Wegen der Dämpfung der freien Schwingungen, d.h. aller Lösungen der homogenen
Differentialgleichung, stellt sich für große Zeiten ein Zustand ein, der von den Anfangsbedingungen
unabhängig ist und als erzwungene Schwingung bezeichnet wird.
Es handelt sich dabei um eine Schwingung mit der Frequenz der anregenden Kraft.
Zunächst sind die Spezialfälle instruktiv, bei denen die Anregungsfrequenz ω sehr
viel kleiner bzw. sehr viel größer ist als die Oszillatorfrequenz ω0. Für ω → 0 gilt
näherungsweise,
ω 2 0x = a0 cos(ωt), x = a0
ω2 cos(ωt). (2.34)
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