Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 107
Zur Aufstellung der Lagrangegleichungen berechnen wir zuerst das totale Differential
von L unter Berücksichtigung der Symmetrie von µnm und knm,
dL = 1
f
µnm d
2
˙ ξn ˙ ξm + ˙ ξnd ˙
ξm − knm (dξnξm + ξndξm)
= 1
2
=
n,m=1
f
n,m=1
(µnm + µmn) ˙ ξmd ˙ ξn − (knm + kmn) ξmdξn
f
µnm ˙ ξmd ˙ ξn − knmξmdξn.
n=1
Daraus erhält man für die verallgemeinerten Impulse und Kräfte
∂L
∂ ˙ ξn
=
f
µnm
m=1
˙ ξm
∂L
∂ξn
=
f
− knmξm.
5.6.2 Schwingungsgleichung
Die zugehörigen Lagrangegleichungen stellen ein Gleichngssystem von f gekoppelten
linearen Oszillatoren dar,
f
In Vektornotation gilt
m=1
m=1
µnm ¨ ξm + knmξm = 0 (5.73)
µ · ¨ ξ + k · ξ = 0. (5.74)
Die Bewegungsgleichungen (5.74) bilden ein Differentialgleichungessystem mit konstanten
Koeffizienten, das durch einen Exponentialansatz,
ξ = Ae −iωt , (5.75)
gelöst werden kann. Mit diesem Lösungsansatz folgt ein homogenes algebraisches
Gleichungssystem k − ω 2 µ · A = 0. (5.76)
Nichtverschwindende Lösungen existieren nur für bestimmte Werte von ω 2 die durch
die Lösbarkeitsbedingung des linearen Gleichungssystems
D(ω 2 ) = det k − ω 2 µ = 0 (5.77)