Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 32
bestimmt, ob das neue Basissystem ein Rechtssystem (+1)oder ein Linkssystem (−1)
darstellt, denn es gilt
e ′ 1·(e ′ 2×e3) ′ =
α1iα2jα3kei·(ej×ek) =
ɛijkα1iα2jα3k = det
α . (3.21)
i,j,k
Durch eine stetige Variation der Parameter einer orthogonalen Transformation kann
sich das Vorzeichen der Determinante nicht sprunghaft ändern. Drehungen eines
Rechtssystems werden daher durch orthogonale Transformationen mit der Determinante
+1 dargestellt. Beim Übergang von einem Rechtssytem zu einem Linkssystem
muß zusätzlich eine Koordinatenachse gespiegelt werden. Raumspiegelungen stellen
keine exakte Symmetrie der physikalischen Gesetze dar. Diese Symmetrie wird durch
die schwache Wechselwirkung gebrochen.
Umkehrtransformation
Da die Determinante einer orthogonalen Transformation immer ungleich Null ist,
existiert die Umkehrtransformation. Durch die Entwicklung eines alten Basisvektors
nach der neuen Basis erhält man,
ei =
3
j=1
i,j,k
α −1
ij e′ j, α −1
ij = ei·e ′ j = αji. (3.22)
Die Orthonormalitätsbedingungen für die alte Basis lauten entsprechend,
ei·ej =
n,m
α −1
in α−1
jm e′ n·e ′ m =
n
αniαnj = δij. (3.23)
Die Indizes i und j stellen hier die Indizes der Spalten der Matrix α dar. Die Orthonormalität
der alten Basis wird also durch die Orthonormalität der Spalten der
Transformationsmatrix ausgedrückt. Damit besitzen orthogonale Transformationen
die Eigenschaften
α·α T = α T ·α = I, α −1 = α T , det α = ±1 . (3.24)
Transformation von Vektoren und Skalaren
Zur Beschreibung der Drehung von Vektoren unterscheidet man zwei Möglichkeiten.
Bei einer passiven Drehung wird die Basis bei festgehaltenen Vektoren gedreht.
Umgekehrt werden bei einer aktiven Drehung die Vektoren bei festgehaltener Basis
gedreht.