Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 30
3.1.3 Orthogonale Transformationen
Orthogonale Transformationen sind Transformationen einer Orthonormalbasis.
Definition 3.3 Eine Orthonormalbasis im dreidimensionalen Ortsraum ist eine
Basis von Einheitsvektoren {ei}, mit i = 1, 2, 3, die jeweils paarweise senkrecht
zueinander stehen:
ei·ej = δij, δij =
1 ; i = j
0 ; i = j
. (3.12)
Man bezeichnet δij als das Kroneckersymbol. Es stellt die Elemente der Einheitsmatrix
dar.
Definition 3.4 Die Einheitsvektoren ei bilden ein Rechtssystem, falls
mit
ei·(ej×ek) = ɛijk, (3.13)
⎧
⎨ +1 ; i, j, k zyklische Vertauschung von 1, 2, 3
ɛijk = −1
⎩
0
;
;
i, j, k antizyklische Vertauschung von 1, 2, 3
sonst
Man bezeichnet ɛijk als den Levi-Civita-Tensor oder den Epsilontensor.
Basistransformation
. (3.14)
Wir untersuchen nun die Eigenschaften von Transformationen, die eine gegebene
Orthonormalbasis {ei} in eine neue Orthonormalbasis {e ′ i} überführen. Jeder Basisvektor
der neuen Basis kann als Linearkombination der Basisvektoren der alten
Basis geschrieben werden,
e ′ i =
3
αijej, αij = e ′ i·ej = cos(ϕij). (3.15)
j=1
Die Entwicklungskoeffizienten αij werden als Richtungskosinus bezeichnet, da sie
durch den Kosinus des Winkels ϕij zwischen der i-ten neuen und der j-ten alten
Richtung dargestellt werden.
Als Beispiel betrachten wir eine Drehung des Koordinatensystems um die x3-Achse
um den Winkel ϕ. Nach Abb.(3.2) gilt hier
α11 = α22 = cos ϕ,
α12 = cos(ϕ − π/2) = sin ϕ, α21 = cos(ϕ + π/2) = − sin ϕ,
α33 = 1, α13 = α23 = α31 = α32 = 0.