Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 105
entspricht der Erhaltungsgröße (5.68) der Impuls,
pn = ∂L
.
∂ ˙qn
Die Drehimpulserhaltung folgt aus der Isotropie des Raumes. Bei einer infinitesimalen
Drehung um eine Drehachse n ändern sich die Ortsvektoren aller Teilchen
gemäß r ′ i = ri + ɛn×ri. Für diese Transformation ist ψi = n×ri und φ = 0. Aus
der Invarianz von L mit f = 0 folgt die Erhaltungsgröße
N
N
∂L
· (n×ri) = n· ri×
∂ ˙ri
∂L
.
∂ ˙ri
i=1
Dies ist die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Drehachse n.
Beweis des Noether-Theorems
Aus der Zeittransformation in (5.66) folgt
dt ′
= 1 + ɛdφ
(5.69)
dt dt
In linearer Ordnung in ɛ erhält man für die Transformation der verallgemeinerten
Geschwindigkeiten
˙q ′ n = dq′ n
dt ′ = dq′ n
dt
i=1
dt
dt ′
=
dqn
+ ɛdψn 1 − ɛ
dt dt
dφ
=
dt
dψn dφ
˙qn + ɛ − ˙qn .
dt dt
(5.70)
Die linke Seite von (5.67) ergibt
′ d dt
dɛ dt L′
ɛ=0
= dL′
dɛ + L
ɛ=0
dφ
dt
f ∂L
= ψn +
∂qn n=1
∂L
dψn dφ
− ˙qn +
∂ ˙qn dt dt
∂L
φ + Ldφ
∂t dt
f
d ∂L
=
ψn +
dt ∂ ˙qn
n=1
∂L
f
dψn
∂L dφ ∂L
+ L − ˙qn +
∂ ˙qn dt
∂ ˙qn dt ∂t
n=1
φ
= d
f
∂L
ψn +
dt ∂ ˙qn
d
f
∂L
L − ˙qn φ . (5.71)
dt
∂ ˙qn
n=1
In der dritten Zeile wurden die Lagrangegleichungen (5.63), in der vierten der Energiesatz
(5.43) verwendet. Mit diesem Ausdruck ergibt die Integration von (5.67) die
Erhaltungsgröße (5.68).
n=1