Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 120
Ist die Hamiltonfunktion nicht explizit zeitabhängig, so ist die Energie erhalten,
dH
dt
∂H
= ˙pn +
∂pn n
∂H
˙qn +
∂qn
∂H
∂t
=
∂H
−
∂pn
∂H
+
∂qn
∂H ∂H
+
∂qn ∂pn
∂H
∂t
n
= ∂H
∂t
= 0. (6.6)
Hamiltonfunktion einer Ladung im elektromagnetischen Feld
Aus der Lagrangefunktion (5.65) findet man den kanonischen Impuls
Damit erhält man die Hamiltonfunktion
p = mv + q
c A.
H = p · v − L
= p · v − 1
2 mv2 + qφ − q
=
v · A
c
mv 2 − 1
2 mv2 =
+ qφ
1
2 mv2 + qφ
= (p − q
cA)2 + qφ.
2m
6.2 Modifiziertes Hamiltonsches Prinzip
Die Hamiltonschen Gleichungen lassen sich aus einem Variationsprinzip ableiten. Sei
LH(q, ˙q, p, t) =
f
pn ˙qn − H(p, q, t)
n=1
die Lagrangefunktion des Systems als Funktion der unabhängigen Variablen q, ˙q, p
und
S[p, q] =
t2
t1
dtLH
die Wirkung als Funktional der Bahn (p, q) im Phasenraum. Dann folgen die Hamiltonschen
Gleichungen aus dem modifizierten Hamiltonschen Prinzip
δS[q, p] = 0, mit δq(t1) = δq(t2) = δp(t1) = δp(t2) = 0. (6.7)