Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 121
Die Variation nach den Funtionen q und p ergibt die Euler-Lagrangegleichungen,
Mit
∂LH
∂ ˙qn
∂LH
∂ ˙pn
d ∂LH
dt ∂ ˙qn
d ∂LH
dt ∂ ˙pn
= pn,
= 0,
= ∂LH
∂qn
= ∂LH
.
∂pn
folgen daraus die kanonischen Gleichungen (6.5).
6.3 Poisson-Klammern
∂LH
∂qn
= − ∂H
∂qn
∂LH
∂pn
= ˙qn − ∂H
∂pn
Sei F (p, q, t) eine beliebige Funktion der Variablen p, q, t. Dann ist deren totale
Zeitableitung
dF
dt
∂F ∂F
= + ˙qn +
∂t ∂qn n
∂F
˙pn
∂pn
= ∂F ∂F ∂H
+ −
∂t ∂qn ∂pn
∂F ∂H
.
∂pn ∂qn
n
Definiert man die Poissonklammern zweier Funktionen u(p, q) und v(p, q) durch
so gilt
u, v =
dF
dt
n
∂u
∂v
∂qn ∂pn
− ∂u
∂pn
∂v
, (6.8)
∂qn
= ∂F
∂t + F, H . (6.9)
Setzt man F = q bzw. F = p so erhält man die Bewegungsgleichungen in der
symmetrischen Form
˙qn = qn, H , ˙pn = pn, H . (6.10)