Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 113
Für eine kontinuierliche Massenverteilung mit der Massendichte γ(r) kann die Summation
durch eine Integration ersetzt werden,
M = dV γ(r), Θik = dV γ(r) r 2
δik − xixk . (5.93)
Trägheitsmomente
Eine einfachere Darstellung erhält man, indem man die Drehachse n als eine Koordinatenachse
wählt. Hier gilt
Trot = 1
2 Θnnω 2 , Θnn = n · Θ · n, ω = ωn.
Hierbei wird Θnn als das Trägheitsmoment des starren Körpers bezüglich der Drehachse
n bezeichnet. Es kann nach der Formel
Θnn =
mν(n × rν) 2 =
ν
ν
mνr 2 ν sin 2 ϑν
berechnet werden, wobei ϑν den Winkel zwischen rν und n bezeichnet.
Hauptträgheitsmomente
Der Trägheitstensor ist symmetrisch und besitzt daher in einem beliebigen Koordinatensystem
6 unabhängige Elemente. Eine symmetrische Matrix kann durch eine
Drehung der Koordinatenachsen immer auf Diagonalform gebracht werden. Dieses
Koordinatensystem heißt Hauptachsensystem des Trägheitstensors, die Diagonalelemente
der Matrix sind die Hauptträgheitsmomente. Die Hauptachsen xi und die
zugehörigen Hauptträgheitsmomente Θi findet man als Lösungen des Eigenwertproblems
Θ · xi = Θixi, det |Θik − Θiδik| = 0. (5.94)
Sind allle Hauptträgheitsmomente verschieden, so nennt man den starren Körper
einen unsymmetrischen Kreisel. Sind zwei Hauptträgheitsmomente gleich, so handelt
es sich um einen symmetrischen Kreisel. Sind alle drei Hauptträgheitsmomente
gleich, so spricht man von einem Kugelkreisel.
Drehimpuls
Der Drehimpuls des starren Körpers um den Bezugspunkt r0 kann ebenfalls mit
Hilfe des Trägheitstensors angegeben werden,
L = R×Mv0 + Θ · ω. (5.95)