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Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

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<strong>Theoretische</strong> <strong>Physik</strong>: <strong>Mechanik</strong> WS 02/03, H.-J. Kull 113<br />

Für eine kontinuierliche Massenverteilung mit der Massendichte γ(r) kann die Summation<br />

durch eine Integration ersetzt werden,<br />

<br />

<br />

M = dV γ(r), Θik = dV γ(r) r 2 <br />

δik − xixk . (5.93)<br />

Trägheitsmomente<br />

Eine einfachere Darstellung erhält man, indem man die Drehachse n als eine Koordinatenachse<br />

wählt. Hier gilt<br />

Trot = 1<br />

2 Θnnω 2 , Θnn = n · Θ · n, ω = ωn.<br />

Hierbei wird Θnn als das Trägheitsmoment des starren Körpers bezüglich der Drehachse<br />

n bezeichnet. Es kann nach der Formel<br />

Θnn = <br />

mν(n × rν) 2 = <br />

ν<br />

ν<br />

mνr 2 ν sin 2 ϑν<br />

berechnet werden, wobei ϑν den Winkel zwischen rν und n bezeichnet.<br />

Hauptträgheitsmomente<br />

Der Trägheitstensor ist symmetrisch und besitzt daher in einem beliebigen Koordinatensystem<br />

6 unabhängige Elemente. Eine symmetrische Matrix kann durch eine<br />

Drehung der Koordinatenachsen immer auf Diagonalform gebracht werden. Dieses<br />

Koordinatensystem heißt Hauptachsensystem des Trägheitstensors, die Diagonalelemente<br />

der Matrix sind die Hauptträgheitsmomente. Die Hauptachsen xi und die<br />

zugehörigen Hauptträgheitsmomente Θi findet man als Lösungen des Eigenwertproblems<br />

Θ · xi = Θixi, det |Θik − Θiδik| = 0. (5.94)<br />

Sind allle Hauptträgheitsmomente verschieden, so nennt man den starren Körper<br />

einen unsymmetrischen Kreisel. Sind zwei Hauptträgheitsmomente gleich, so handelt<br />

es sich um einen symmetrischen Kreisel. Sind alle drei Hauptträgheitsmomente<br />

gleich, so spricht man von einem Kugelkreisel.<br />

Drehimpuls<br />

Der Drehimpuls des starren Körpers um den Bezugspunkt r0 kann ebenfalls mit<br />

Hilfe des Trägheitstensors angegeben werden,<br />

L = R×Mv0 + Θ · ω. (5.95)

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