Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 109
Normalmoden
Die Lösungen der Schwingungsgleichung für ωk > 0 besitzen die Form
ξ (k) = A (k) ℜ Cke −iωkt = A (k) Bk cos(ωkt + αk), (5.79)
wobei Ck = Bke −iαk eine komplexe Integrationskonstante darstellt und die Lösungsvektoren
A (k) durch eine Normierungsvorschrift
A (k) · µ · A (l) = δkl
(5.80)
festgelegt wurden. Dies sind Schwingungen mit genau einer Eigenfrequenzen, die als
Normalmoden bezeichnet werden.
Die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems ist eine Superposition aller
Normalmoden,
f
ξ = A (k) Bk cos(ωkt + αk) . (5.81)
k=1
Die hierbei auftretenden 2f Integrationskonstanten werden durch die Anfangsbedingungen
ξ(0) = ξ0 und ˙ ξ(0) = ˙ ξ0 bestimmt.
5.7 Starrer Körper
5.7.1 Freiheitsgrade
Ein Körper wird als starrer Körper bezeichnet, wenn alle Punkte der Massenverteilung
feste Relativabstände zueinander besitzen. Die Massenverteilung kann
punktförmig oder kontinuierlich vorgegeben sein.
Ein Punkt Pν eines starren Körpers kann in einem Inertialsystem S durch den Ortsvektor
(5.82)
rν,S = r0 + rν
dargestellt werden. Hierbei bezeichnet r0 einen beliebigen Bezugspunkt im starren
Körper, der den Ursprung eines körperfesten Bezugssystems K bildet. Der Ortsvektor
von Pν im körperfesten System ist rν. Die Basisvektoren und die Koordinaten
in den beiden Bezugssystemen werden durch folgende Notation unterschieden:
S : rS = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez,
K : r = x1e1(t) + x2e2(t) + x3e3(t).
Ein starrer Körper besitzt 6 Freiheitsgrade, drei Freiheitsgrade der Translation und
drei Freiheitsgrade der Rotation. Die Lage seiner Punkte kann dementsprechend
durch die 3 Komponenten des Bezugspunktes und durch die 3 Winkel der Drehung
von K relativ zu S angegeben werden.