Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 102
führt die Variation der Wirkung in beiden Fällen zum selben Ergebnis. Hierbei
wurde verwendet, daß die Variation in den Endpunkten der Bahn verschwindet.
Galileitransformation als Eichtransformation
Bei einer Galileitransformation mit einer konstanten Geschwindigkeit u
erhält man aus der Lagrangefunktion
L =
die neue Lagrangefunktion
L ′ =
v ′ i = vi − u, r ′ i = r − ut
N
i=1
N
i=1
= L + d
dt
1
2 miv 2 i −
1 ′2
miv i −
2
i=1
N i−1
U(ri − rj)
i=2
j=1
N i−1
i=2
j=1
U(r ′ i − r ′ j)
N
−mivi·u + 1
2 miu 2
t .
Die Lagrangefunktion im neuen Inertialsystem unterscheidet sich also von der
Lagrangefunktion im alten Inertialsystem durch eine Eichtransformation.
Eichtransformation der elektromagnetischen Potentiale
In der Elektrodynamik können die elektrischen und magnetischen Felder aus einem
Vektorpotential A(r, t) und einem skalaren Potential φ(r, t) in folgender Weise abgeleitet
werden,
E = − 1
c ∂tA − ∇φ, B = ∇ × A.
Hierbei ist c die Lichtgeschwindigkeit und wir verwenden das Gaußsche Maßsystem.
Die Potentiale sind nicht eindeutig. Bei einer Transformation
A ′ = A + ∇χ(r, t), φ ′ = φ − 1
c ∂tχ(r, t)
mit einer beliebigen Funktion χ(r, t) bleiben die Felder E und B invariant. Man
nennt diese Transformationen Eichtransformationen der Potentiale. Die Lagrangefunktion
einer Ladung q im elektromagnetischen Feld ist
L = 1
2 mv2 − q(φ − 1
v · A). (5.65)
c