Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 40
Bei einer Bewegung des Massenpunktes dreht sich diese lokale Basis mit der Winkelgeschwindigkeit
ω = ˙ϕ um die z-Achse.
Im lokalen Basissystem erhält man für den Ortsvektor (3.41), die Geschwindigkeit
(3.44) und die Beschleunigung (3.47) jeweils
r = r er
v = ˙r er + ωr ez×e r = ˙r er + ωr eϕ . (3.50)
a = ¨r er + 2ω ˙r ez×e r + ω 2 r ez×(ez×e r) + ˙ωr ez×e r
= ¨r er + 2ω ˙r eϕ − ω 2 r er + ˙ωr eϕ .
Damit lauten die beiden Komponenten der Bewegungsgleichung in Polarkoordinaten
3.2.4 Begleitendes Dreibein
m¨r = Fr + mω 2 r, Fr = F · er,
mr ¨ϕ = Fϕ − 2mω ˙r , Fϕ = F · eϕ . (3.51)
Eine Raumkurve definiert in jedem Punkt der Kurve ein spezielles Orthonormalsystem
von Basisvektoren, das man als das begleitende Dreibein bezeichnet. Das
Dreibein ändert seine Richtung entlang der Kurve, so daß man es hier physikalisch
mit einem speziellen rotierenden Bezugssystem zu tun hat. Die Änderungen
der Basisvektoren entlang der Kurve definieren die lokalen Kurveneigenschaften der
Krümmung und Torsion. Die Komponenten der Beschleunigung definieren die lokale
Tangential- und Zentripetalbeschleunigung.
Interessiert man sich für die geometrischen Eigenschaften der Bahnkurve, so ist es
besser die Bogenlänge s anstelle der Zeit t als Kurvenparameter zu verwenden. Aus
dem skalaren Weg-Differential
ds = √ dr·dr (3.52)
erhält man für eine Kurve mit der Parameterdarstellung r = r(t) die Bogenlänge
s(t) mit dem Anfangswert s(0) = 0 durch
s =
t
0
dt ′ √ ˙r· ˙r =
t
0
dt ′ v(t ′ ) (3.53)
Als ersten Basisvektor des Dreibeins definiert man den Tangenten-Einheitsvektor
t = dr
ds
˙r
= . (3.54)
v
Es ist ein Einheitsvektor, der in Richtung der Geschwindigkeit gerichtet ist.