Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 51
definieren. Ohne Einschränkung kann man einen beliebigen Weg wählen und entlang
dieses Weges mit der Bogenlänge als Kurvenparameter eine Stammfunktion
berechnen,
U(r) = −
(F ·t) ds , t = dr
ds .
Die Arbeit ist dann die Differenz der potentiellen Energien in den Endpunkten des
Weges,
r1
r1
W = F ·dr = −U(r)
= U(r0) − U(r1) . (4.20)
Aus dem Energiesatz (4.18) folgt mit (4.20)
r0
r0
T1 + U(r1) = T0 + U(r0) = E.
Da der Endpunkt beliebig gewählt werden kann, bleibt die Gesamtenergie E bei
der Bewegung r = r(t) mit der Geschwindigkeit v = v(t) konstant und es gilt der
Energieerhaltungssatz
Konservative Kräfte
1
2 mv2 + U(r) = E (4.21)
Es stellt sich nun die Frage, welche Kräfte konservativ sind, d.h. ein Potential besitzen.
Dazu nehmen wir an, daß ein Potential existiert und leiten daraus die allgemeine
Form des zugehörigen Kraftfeldes her.
Es existiere ein Potential U(r), so daß die Arbeit wegunabhängig ist und der Energiesatz
(4.21) gilt. Dann erhält man durch Zeitableitung
Hierbei bezeichnet
den Nabla-Operator und
dT
dt
+ dU
dt
= (F + ∇U)·v = 0 . (4.22)
∂ ∂ ∂
∇ = ex + ey + ez
∂x ∂y ∂z
∂U
∇U = ex
∂x
∂U
+ ey
∂y
∂U
+ ez
∂z
(4.23)
(4.24)
den Gradienten von U. Allgemein kann das Differential einer Funktion f(r) mit
Hilfe des Gradienten angegeben werden,
df = ∂f
∂x
dx + ∂f
∂y
∂f
dy + dz = dr·∇f. (4.25)
∂z