Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 97
Die Differentiation ergibt
pk = 1
2
= 1
2
= 1
2
n,m
m
m
µnm(δnk ˙qm + ˙qnδkm)
µkm ˙qm + 1
2
µnk ˙qn
n
(µkm + µmk) ˙qm =
m
µkm ˙qm . (5.48)
Damit erhält man die Gesamtenergie
E =
pk ˙qk − L = 2T − (T − U) = T + U. (5.49)
5.4 Variationsprinzipien
k
Die Lagrangegleichungen zweiter Art können aus einem Variationsprinzip hergeleitet
werden. Diese Formulierung ist besonders elegant, da das vollständige mechanische
System durch eine einfache skalare Gleichung beschrieben wird. Außerdem findet
das Hamiltonsche Prinzip Anwendung in anderen Gebieten der Physik, wie z.B. in
Feldtheorien.
5.4.1 Eulersche Gleichung der Variationsrechung
Differential und stationäre Punkte
Bei Variationsproblemen handelt es sich um eine Verallgemeinerung der Extremwertbestimmung
von Funktionen. Für eine Funktion f(x1, · · · , xn) nennt man die
Punkte, bei denen das Differential der Funktion verschwindet stationäre Punkte:
(x01, · · · , x0n) stationär ⇐⇒ df = 0 .
Das Verschwinden des Differentials ist gleichbedeutend mit dem Verschwinden aller
partiellen Ableitungen. Diese Bedingung ist notwendig aber nicht hinreichend für
ein Extremum. Es können neben Extrema auch Wendepunkte oder Sattelpunkte
auftreten. Daher bezeichnet man die Punkte, bei denen das Differential verschwindet
allgemein als stationäre Punkte.