Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

4.4 Differentielle Feldgleichungen
folgt für Gleichung (4.20)
mit dem Vektorpotential
⃗B (⃗r) = 1 c
∫
= − 1 c
= 1 ∫
c
∫
= 1 ∫
∇
c ⃗ r ×
d 3 r ′ ⃗j
(⃗r ′) ×
(
d 3 r ′ ⃗j ⃗r ′) ×
⃗r − ⃗r′
|⃗r − ⃗r ′ | 3
(
⃗∇ r
1
|⃗r − ⃗r ′ |
( )
d 3 r ′ 1
⃗∇ r × ⃗j
(⃗r ′)
|⃗r − ⃗r ′ |
⃗j
(⃗r ′)
d 3 r ′ |⃗r − ⃗r ′ | = rot A ⃗ (⃗r) , (4.27)
)
⃗A (⃗r) ≡ 1 c
∫
⃗j
(⃗r ′)
d 3 r ′ + grad Λ (⃗r) . (4.28)
|⃗r − ⃗r ′ |
Wegen rot grad = 0 kann zum 1. Integral ein beliebiges Gradientenfeld dazuaddiert werden,
ohne dass sich das Magnetfeld (4.27) ändert (Eichung des Potentials). Wählen wir speziell
Λ = 0, so gilt
⃗A (⃗r) = 1 ∫ ⃗j
(⃗r ′)
d 3 r ′
c |⃗r − ⃗r ′ | . (4.29)
Wir berechnen die Divergenz des Potentials (4.29):
Mit
div rA ⃗ (⃗r) = ∇r ⃗ · ⃗A (⃗r) = 1 c
= 1 ∫
c
1
⃗∇ r
|⃗r − ⃗r ′ | = −⃗ 1
∇ r
′
|⃗r − ⃗r ′ |
∫
⃗j
(⃗r ′)
d 3 r ′ ∇r ⃗ ·
|⃗r − ⃗r ′ |
(
d 3 r ′ ⃗j ⃗r ′) · ⃗∇ 1
r
|⃗r − ⃗r ′ | .
(4.30)
ergibt sich nach partieller Integration unter Ausnutzung der magnetostatischen Kontinuitätsgleichung
(4.11)
∫
div rA ⃗
1
(
= − d 3 r ′ ⃗j ⃗r ′) ·
c
⃗∇ 1
r
′ =
|⃗r − ⃗r ′ |
∫
1 div d 3 r ′ r
⃗j
(⃗r ′)
′ = 0
c |⃗r − ⃗r ′ |
oder div ⃗ A = 0 , (4.31)
was als Coulomb-Eichung bezeichnet wird.
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