Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

4.4 Differentielle Feldgleichungen
Alternativ können wir die differentielle Feldgleichung (4.4) auch kurz und elegant aus dem
Helmholtz-Theorem (2.144) ableiten: setzen wir ⃗ F = ⃗ B so folgt mit (4.32), div ⃗ B = 0, dass
Der Vergleich mit Beziehung (4.20)
⃗B = 1 ∫
∇
4π ⃗ r × d 3 r ′ ∇ ⃗ ′ r
× B(⃗r ⃗ ′ )
.
V |⃗r − ⃗r ′ |
⃗B (⃗r) = 1 c
∫
d 3 r ′ ⃗j
(⃗r ′) ⃗r − ⃗r′
×
|⃗r − ⃗r ′ | 3
liefert sofort
1
∇
4π ⃗ r
′ × B ⃗ (
⃗r ′) = 1 c ⃗ j
(⃗r ′)
oder rot ⃗ B = 4π c ⃗ j
Q.E.D.
Als differentielle Feldgleichungen der Magnetostatik erhalten wir damit
div ⃗ B (⃗r) = 0 (4.34)
und rot ⃗ B (⃗r) = 4π c ⃗ j (⃗r) . (4.35)
Mit ⃗ B(⃗r) = rot ⃗ A(⃗r) folgt alternativ für das Vektorpotential unter Coulombeichung
∆ ⃗ A (⃗r) = − 4π c ⃗ j (⃗r) (4.36)
und div ⃗ A (⃗r) = 0 , (4.37)
weil rot rot ⃗ A = grad div ⃗ A − ∆ ⃗ A = −∆ ⃗ A.
Die Potentialgleichung (4.36) besteht aus drei Gleichungen für die Komponenten des Vektorpotentials
⃗ A = (A x , A y , A z ). Das Integral (4.29) ist die Lösung der Feldgleichung (4.36).
Das Grundproblem der Magnetostatik besteht darin, aus der gegebenen Stromdichteverteilung
⃗j in einem interessierenden Raumbereich V und den gegebenen Randbedingungen
auf der Oberfläche O(V ) dieses Volumens die Komponenten des Vektorpotentials ⃗ A zu bestimmen,
die sich aus der Lösung der partiellen, inhomogenen Differentialgleichung zweiter
Ordnung (4.36) ergeben.
Formal haben wir das gleiche mathematische Problem wie bei der Lösung der Poisson-
Gleichung der Elektrostatik. Die in Kapitel 3 entwickelten Lösungsverfahren finden auch hier
ihre Anwendung. Bevor wir diese illustrieren, betrachten wir zunächst die Integralform der
magnetostatischen Feldgleichungen und das Verhalten von Magnetfeldern an Grenzflächen
(Randbedingungen).
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