Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6.3 Energieabstrahlung einer bewegten Punktladung
6.3 Energieabstrahlung einer bewegten Punktladung
Setzen wir den Strahlungsanteil des elektrischen Felds (6.90) in Gleichung (6.98) ein, so
erhalten wir
dI
dΩ = c [
Q2 ⃗n
[(
κR2
4π c 2 κ 3 R × ⃗n − β ⃗ )
× ˙⃗
] ] 2
β
= Q2 1
[ [(
4πc κ 5 ⃗n × ⃗n − β ⃗ )
× ˙⃗
]] 2
β . (6.99)
Mit
folgt
also
[(
⃗n × ⃗n − β ⃗ )
× ˙⃗
] (
β = ⃗n − β ⃗ ) (⃗n · ˙⃗
)
β − ˙⃗
( (
β ⃗n · ⃗n − β ⃗ ))
dI
dΩ = Q 2 [ ( ) 2 ( ˙⃗β
4πcκ 5 ⃗n ·
=
=
=
+
(⃗n · ˙⃗
) 2
β
(1 − 2β ⃗ · ⃗n + β 2)]
Q 2 [ ( ) 2 ( ˙⃗β
4πcκ 5
+2⃗n ·
Q 2
(
⃗n − β ⃗ )) 2 ( (
− 2 ⃗n · ⃗n − β ⃗ )) (⃗n · ˙⃗
) (
β ⃗n − β ⃗ )
· ˙⃗ β
1 − ⃗n · ⃗β
) 2
+
(⃗n · ˙⃗
) 2 (
β
1 + β 2 − 2 ⃗ β · ⃗n − 2⃗n ·
(
⃗n − β ⃗ ) (⃗n · ˙⃗
) ( )]
β ⃗β · ˙⃗β
(⃗n · ˙⃗
) 2 (
β 1 + β 2 − 2β ⃗ · ⃗n − 2 + 2⃗n · ⃗β
)
(⃗n · ˙⃗
) ( )]
β ⃗β · ˙⃗β
4πcκ 5 [ ( ˙⃗β
) 2
κ 2 +
+2κ
Q 2 [ ( ) 2 ( ˙⃗β κ 2
4πcκ 5 − ⃗n · ˙⃗
) 2 (
β 1 − β
2 ) (
+ 2κ ⃗n · ˙⃗
) ( )
β ⃗β · ˙⃗β ] ,
dI
dΩ = Q2
4πc
⎡
⎢
⎣
( ˙⃗β
) 2
(
1 − β ⃗ ) 3
+
· ⃗n
2
(⃗n · ˙⃗
) ( )
β ⃗β · ˙⃗β
(
1 − β ⃗ ) 4
−
· ⃗n
(⃗n · ˙⃗ β
) 2
γ 2 (1 − ⃗ β · ⃗n
(
⃗n − β ⃗ ))
⎤
⎥
) 5 ⎦ (6.100)
mit dem Lorentz-Faktor der Punktladung γ = (1 − β 2 ) −1/2 .
Für relativistische Teilchen ist β ≃ 1 und γ ≫ 1. Aufgrund der hohen negativen Potenzen
des Faktors 1 − β ⃗ · ⃗n tritt das Maximum der abgestrahlten Intensität in Richtungen auf, bei
denen 1 − β ⃗ · ⃗n klein ist.
Mit β ⃗ · ⃗n = β cos ψ folgt für kleine Winkel ψ ≪ 1
)
1 − β ⃗ · ⃗n = 1 − β cos ψ ≃ 1 − β
(1 − ψ2
= 1 − β + β 2
2 ψ2 .
Mit
β =
√
1 − 1 γ 2 ≃ 1 − 1
2γ 2 163