Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2 Mathematische Vorüberlegungen
Wir setzen als Ansatz an
⃗∇ψ = λ 1 ⃗e q1 + λ 2 ⃗e q2 + λ 3 ⃗e q3 (2.79)
und bestimmen die Werte der λ i durch Einsetzen von (2.78) und (2.79) in die Beziehung
(2.77):
∂ψ
∂q 1
dq 1 + ∂ψ
∂q 2
dq 2 + ∂ψ
∂q 3
dq 3 =
Der Koeffizientenvergleich in dieser Gleichung ergibt
und somit für die Ansatzgleichung (2.79):
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
λ 1 h 1 dq 1
⎝λ 2
⎠ · ⎝h 2 dq 2
⎠ = h 1 λ 1 dq 1 + h 2 λ 2 dq 2 + h 3 λ 3 dq 3 .
λ 3 h 3 dq 3
λ i = 1 h i
∂ψ
∂x i
, i = 1, 2, 3 (2.80)
⃗∇ψ = ⃗e q1
1
h 1
∂ψ
∂q 1
+ ⃗e q2
1
h 2
∂ψ
∂q 2
+ ⃗e q3
1
h 3
∂ψ
∂q 3
.
Wir finden also für den Gradienten in den krummlinigen Koordinaten die Darstellung
⃗∇ = ⃗e q1
1
h 1
∂
∂q 1
+ ⃗e q2
1
h 2
∂
∂q 2
+ ⃗e q3
1
h 3
Angewandt auf die speziellen Skalare q 1 ,q 2 und q 3 folgt
∂
∂q 3
. (2.81)
⃗∇q 1 = ⃗e q 1
h 1
, ⃗ ∇q2 = ⃗e q 2
h 2
, ⃗ ∇q3 = ⃗e q 3
h 3
, (2.82)
wobei für den Betrag gilt
Weiterhin gilt
∣ ⃗ ∇q ν
∣ ∣∣ =
1
h ν
, ν = 1, 2, 3 . (2.83)
⃗e q1 = h 2 h 3
⃗ ∇q2 × ⃗ ∇q 3 , ⃗e q2 = h 3 h 1
⃗ ∇q3 × ⃗ ∇q 1 , ⃗e q3 = h 1 h 2
⃗ ∇q1 × ⃗ ∇q 2 . (2.84)
Beweis : Zum Beweis von (2.84) nutzen wir Gleichungen (2.82) aus:
Q.E.D.
(
h 2 h 3∇q2 ⃗ × ∇q ⃗ ⃗eq2
3 = h 2 h 3 × ⃗e )
q 3
= ⃗e q2 × ⃗e q3 = ⃗e q1
h 2 h 3
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