Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2 Mathematische Vorüberlegungen
z
k
(iii)
(iv)
(ii)
i
(i)
j
y
x
Abbildung 2.10: Die y − z-Einheitsfläche
in Übereinstimmung mit dem Ergebnis (2.105).
Übungsaufgabe:
A2.6.2) Prüfen Sie den Stokesschen Satz für die Funktion ⃗v = (xy)⃗i + (2yz)⃗j + (3zx) ⃗ k auf
der in Abbildung 2.11 gezeigten dreieckigen Oberfläche.
2.6.4 Sätze von Green
Die beiden Greenschen Sätze folgen aus dem Gauß-Theorem (2.101). Seien u and v zwei
skalare Funktionen. Es gilt nach Gleichung (2.59)
(
⃗∇ · u∇v
⃗ )
= u∇ ⃗ ( ) ( ) ( )
· ⃗∇v + ⃗∇u · ⃗∇v
. (2.106)
Wir integrieren diese Gleichung über das Volumen V und wenden den Gaußschen Satz (2.101)
an:
∫
V
dV ∇ ⃗ (
· u∇v
⃗ )
=
=
=
∫
∫
∫
F
V
V
dF ⃗ (
· u∇v
⃗ )
dV
dV
[
u∇ ⃗ ( ) ( ) ( )]
· ⃗∇v + ⃗∇u · ⃗∇v
[ ( ) ( )]
u∆v + ⃗∇u · ⃗∇v
,
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