Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3.5 Anwendung des Gauß-Gesetzes
φ
3 ρ( r’ )
φ = d r’ r −r’
∆φ = − 4π ρ
ρ
E = 4π ρ E = 0
E = d 3
r’ ρ( r’ )
r −r’
r −r’ 3
φ = − E ds
E = − φ
E
Abbildung 3.3: Die elektrostatischen Feldgleichungen
für alle beliebigen Punkte a und b gilt. Dann folgt
⃗E = − ⃗ ∇Φ ,
im Einklang mit Gleichung (3.13), d.h. die Beziehung (3.24) ist in der Tat die Integralform
von Gleichung (3.13).
3.5 Anwendung des Gauß-Gesetzes
Bei geeigneter Symmetrie ist das integrale Gauß-Gesetz (3.22) die schnellste und leichteste
Methode, um elektrische Feldstärken ⃗ E zu berechnen.
3.5.1 Feld einer homogenen geladenen Kugel
Die Ladungsdichte einer homogenen geladenen Kugel ist
⎧
⎪⎨ ρ 0 für r ≤ a
ρ (⃗r) = ρ(r) =
⎪⎩
0 für r > a
(3.25)
mit ρ 0 = const. Wegen der Symmetrie verwenden wir Kugelkoordinaten r, θ, φ, und das
Potential kann nur vom Abstand r abhängen.
Als 1. Lösungsverfahren verwenden wir das Gauß-Gesetz. Wir werten Gleichung (3.22) aus
für eine Kugeloberfläche F = 4πr 2 mit dem Radius r. Weil dF ⃗ ‖ E ⃗ mit E ⃗ = E(r)⃗e r , gilt
∮ ∫
dF ⃗ · ⃗E
∣ ∣ ∣ ∣ ∫
∣∣
= E ⃗ ∣∣ ∣∣ dF = E ⃗ ∣∣
dF = 4πr 2 E(r) .
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