Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6.2 Inhomogene Wellengleichung
Damit erhalten wir für Gleichung (6.72)
Φ (⃗r, t) = Q ∑ s
∫
dt ′
( )
δ t ′ − s
[ ] (6.75)
R(t ′ ) 1 + 1 dR(t ′ )
c dt ′
Es ist
dR
(t ′)
= d ∣ ( ∣∣⃗r − ⃗r0 t ′)∣ ∣ dt ′ dt ′
mit dem Einheitsvektor
= d
dt ′ √
(⃗r − ⃗r 0 (t ′ )) 2 =
(
⃗r − ⃗r 0 t ′)
= −
|⃗r − ⃗r 0 (t ′ )| · ⃗v 0
(t ′) = −⃗n · ⃗v 0
(t ′)
⃗n ≡
Für das skalare Potential (6.75) folgt
Φ (⃗r, t) = Q ∑ s
1
(
√ ⃗r − ⃗r 0
(t ⎛ (
′)) d⃗r 0
⎝−
(⃗r − ⃗r0 (t ′ )) 2 dt ′
t ′) ⎞
⎠
⃗R
(t ′) (
⃗r − ⃗r 0 t ′)
R (t ′ ) = |⃗r − ⃗r 0 (t ′ )| . (6.76)
∫
dt ′
R (t ′ )
( )
δ t ′ − s
[
1 − ⃗n·⃗v 0(t ′ )
c
)
(
t ′ − s
= Q ∑ ∫ δ
dt ′
s R (t ′ R(t
) − ⃗ ′ )·⃗v 0(t ′ )
c
= ∑ Q
s R (t ′ R(t
) − ⃗ | ′ )·⃗v 0(t ′ ) t ′ =s,F (s)=0 .
c
Nach (6.73) ergibt sich die Nullstelle von F (s) = 0 zu
]
R
(t ′)
s = t ′ = t − ,
c
Q
so dass Φ (⃗r, t) =
R (t ′ R(t
) − ⃗ ′ )·⃗v 0(t ′ ) ∣
t ′ =t− R (t ′ )
c
c
. (6.77)
Die Größen auf der rechten Seite dieser Gleichung müssen zur retardierten Zeit t ′
R(t ′ )/c genommen werden.
= t −
153