Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

7 Kovariante Formulierung der Maxwell-Theorie
wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwandt wird. Ausgeschrieben lautet die Dichte
(7.60) also
L = 1 [
]
∂ 0 Φ∂ 0 Φ − ∂ 1 Φ∂ 1 Φ − ∂ 2 Φ∂ 2 Φ − ∂ 3 Φ∂ 3 Φ − 1 ( mc
) 2
Φ 2 ,
2
2
wobei der Summationsindex hier von 0 bis 3 läuft.
Gemäß der Euler-Lagrange-Gleichung (7.60) berechnen wir
und
∂L
∂ (∂ 0 Φ)
= ∂ 0 Φ = ∂ 0 Φ ,
∂L
∂ (∂ 1 Φ)
= −∂ 1 Φ = ∂ 1 Φ ,
∂L
∂ (∂ 2 Φ)
= −∂ 2 Φ = ∂ 2 Φ ,
∂L
= −∂ 3 Φ = ∂ 3 Φ ,
∂ (∂ 3 Φ)
∂L
( mc
) 2
∂Φ = − Φ .
Damit erhalten wir in diesem Fall als Euler-Lagrange-Gleichung
( mc
) 2
∂ µ ∂ µ Φ + Φ = 0 (7.62)
die Klein-Gordon-Gleichung, die in der Quantentheorie Teilchen mit Spin 0 und Masse m
beschreibt.
7.4.3 Proca-Lagrange-Dichte für ein Vektor-Feld (Spin 1)
Als nächstes untersuchen wir den Fall einer Vierer-Vektor-Feldfunktion u 1 = A µ mit der
invarianten Lagrange-Dichte
L = − 1
16π (∂µ A ν − ∂ ν A µ ) (∂ µ A ν − ∂ ν A µ ) + 1 ( mc
) 2
A ν A ν . (7.63)
8π
Mit dem Feldstärketensor (7.38) schreibt sich diese Lagrange-Dichte als
L = − 1
16π F µν F µν + 1
8π
( mc
) 2
A ν A ν . (7.64)
Gemäß der Euler-Lagrange-Gleichung (7.60) berechnen wir
[
∂L ∂ 1
( mc
) ] 2
=
A ν A ν
∂A ν ∂A ν 8π
= 1 ( mc
) 2 ∂
[
(A 0 ) 2 − (A 1 ) 2 − (A 2 ) 2 − (A 3 ) 2]
8π ∂A ν
= 1 ( mc
) 2
A
ν
4π
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