Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3 Elektrostatik
Gemäß Kap. 3.3 ist Gleichung (3.52) äquivalent zu
Aus der Randbedingung (3.49) folgt
∫
Φ part (⃗r) =
Φ part | R + Φ hom | R = Φ 0 (⃗r)
d 3 r ′ ρ (
⃗r ′)
|⃗r − ⃗r ′ | . (3.53)
oder Φ hom | R = (Φ 0 − Φ part ) | R . (3.54)
Mit (3.53) erhalten wir für die Lösung (3.50)
∫
Φ (⃗r) =
d 3 r ′ ρ (
⃗r ′)
|⃗r − ⃗r ′ | + Φ hom (⃗r)
Im Spezialfall, dass keine Metalloberflächen vorhanden sind, ist das Volumen V der gesamte
Raum und die Randbedingung lautet Φ(∞) = 0. Wegen Φ part (∞) = 0 folgt aus (3.54)
Φ hom (∞) = 0 und damit Φ hom (⃗r) = 0.
3.8.3 Eindeutigkeit der Lösung
Seien Φ 1 (⃗r) und Φ 2 (⃗r) zwei beliebige Lösungen des Potentialproblems (3.48)–(3.49). Für
die Differenz
ψ (⃗r) = Φ 1 (⃗r) − Φ 2 (⃗r) (3.55)
gilt dann ∆ψ = ∆Φ 1 − ∆Φ 2 = −4π(ρ − ρ) = 0
also ∆ψ = 0 in V (3.56)
und ψ| R = Φ 1 | R − Φ 2 | R = Φ 0 − Φ 0 = 0 . (3.57)
Benutzen wir den 1. Greenschen Satz (2.6.10) für die skalaren Funktionen u = v = ψ, so
gilt
∫ [ ( ) ] ∫ 2
dV ψ∆ψ + ⃗∇ψ = dF ψ ∂ψ
V
R ∂n . (3.58)
Wegen (3.57) ψ| R = 0 verschwindet die rechte Seite von (3.58). Setzen wir auf der linken
Seite gemäß Gleichung (3.56) ∆ψ = 0 ein, so folgt
∫ ( ) 2
dV ⃗∇ψ = 0
oder ⃗ ∇ψ = 0 ,
V
so dass ψ (⃗r) = const. , (3.59)
d.h. die beiden möglichen Lösungen Φ 1 (⃗r) und Φ 2 (⃗r) können sich nur um eine Konstante
unterscheiden.
Für die Dirichlet-Randbedingung ψ| R = 0 muss die Konstante gleich Null sein. Für die von-
Neumann-Randbedingung ist die Lösung bis auf diese unwesentliche Konstante festgelegt.
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