Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

4 Magnetostatik
Im Rückleiter: Mit Gleichung (4.60) folgt für die drei Komponenten des Vektorpotentials
nach Gleichung (4.62)
∆A (R)
z (r) = − 4π c j −, ∆A (R)
x (r) = ∆A (R)
y (r) = 0 .
Auch hier wählen wir speziell A (R)
x = A (R)
y = 0.
Mit dem Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten folgen als nichttriviale Gleichungen:
( ∂
2
∂r 2 + 1 )
∂
A (i)
z (r) = − 4π r ∂r
c j 0 , (4.63)
( )
∂
2
∂
A (h)
z (r) = 0 (4.64)
und
∂r 2 + 1 r ∂r
( ∂
2
∂r 2 + 1 ∂
r ∂r
)
A (R)
z (r) = 4π c j − . (4.65)
Die Lösung im Innenleiter von Gleichung (4.63) ist mit den Integrationskonstanten a i und b i
denn mit
folgen
und
1
r
A (i)
z (r) = a i ln r + b i − πj 0
c r2 , (4.66)
∂A (i)
z (r)
= a i
∂r r − 2πj 0
r
c
∂
z (r) = a i
r 2 − 2πj 0
c
∂r A(i)
∂ 2 A (i)
z (r)
∂r 2 = − a i
r 2 − 2πj 0
c
so dass die linke Seite von (4.63) zu
( ∂
2
∂r 2 + 1 )
∂
A (i)
z (r) = − a i
r ∂r
r 2 − 2πj 0
+ a i
c r 2 − 2πj 0
c
wird.
Für die Lösungen von Gleichungen (4.64) und (4.65) setzen wir an
und
,
= − 4πj 0
c
A (h)
z (r) = a h ln r + b h (4.67)
A (R)
z (r) = a R ln r + b R + πj −
c r2 . (4.68)
Die Integrationskonstanten a i , a h , a R , b i , b h und b R müssen mithilfe der Randbedingungen
bestimmt werden. Aus der Forderung der Endlichkeit von A z
(i) (r) für r → 0 folgt sofort
a i = 0, so dass sich Gleichung (4.66) auf
reduziert.
A (i)
z (r) = b i − πj 0
c r2 (4.69)
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