Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6.3 Energieabstrahlung einer bewegten Punktladung
Mit θ = ∠(⃗n, ˙⃗ β) gilt
⃗n ×
[⃗n × ˙⃗
]
β
[
so dass ⃗n ×
(
⃗n × ˙⃗ β
)] 2
=
= ⃗n
(⃗n · ˙⃗
)
β
− ˙⃗ β (⃗n · ⃗n) = ˙β cos θ⃗n − ˙⃗β ,
[ ] 2 ( ) 2
˙β cos θ⃗n − ˙⃗β = ˙β cos 2 θ − 2 ˙β cos θ⃗n · ˙⃗
( 2
β + ˙β)
=
( ) 2 [cos ˙β
2 θ − 2 cos 2 θ + 1 ] ( ) 2
= ˙β sin 2 θ .
Wir erhalten dann für Gleichung (6.102)
dI
dΩ = Q2
4πc
(
˙β) 2
sin 2 θ = Q2
4πc 3 ( ˙v)2 sin 2 θ (6.103)
mit der charakteristischen sin 2 θ-Abhängigkeit.
Durch Integration über alle Raumwinkel dΩ = sin θdθdφ = dµdφ mit µ = cos θ folgt für die
totale abgestrahlte Leistung
∫ 2π ∫ 1
P tot = dφ dµ dI
∫ 1
0 −1 dΩ = 2πQ2
4πc 3 ( ˙v)2 dµ ( 1 − µ 2) ,
−1
also P tot = 2 Q 2 ( ˙v) 2
3 c 3 . (6.104)
Gleichung (6.104) wird als Larmor-Formel bezeichnet.
Die abgeleiteten Gleichungen (6.90) und (6.94) für das elektrische und magnetische Feld einer
bewegten Punktladung bilden auch den Ausgangspunkt für die Berechnung der Synchrotronstrahlung,
d.i. die Strahlung eines geladenen Teilchens in einem homogenen Magnetfeld:
dazu muss die entsprechende Bahngleichung eines geladenen Teilchens im homogenen Feld
⃗r 0 (t) in die Gleichungen (6.90) und (6.94) eingesetzt werden.
6.3.2 Bremsstrahlung
Bei der Bremsstrahlung wird das geladene Teilchen in Bewegungsrichtung abgebremst. Daher
ist ˙⃗ β parallel zu β ⃗ und deshalb ˙⃗β × β ⃗ = 0. Gemäß Gleichung (6.99) folgt
dI
Q 2 [
≃
dΩ brems 4πcκ 5 ⃗n ×
[⃗n × ˙⃗
]] 2 Q 2 [
β =
4πcκ 5 ⃗n
(⃗n · ˙⃗
)
β − ˙⃗
] 2
β (⃗n · ⃗n)
Q 2 [ ] 2 Q
= ˙β cos θ⃗n − ˙⃗β 2 [ ( ) 2 (
= ˙⃗β 1 − cos 2
4πcκ 5 4πcκ 5 θ )]
=
Q 2
4πcκ 5 ( ˙⃗β
) 2
sin 2 θ .
Mit κ = 1 − ⃗n · ⃗β = 1 − β cos θ erhalten wir
dI
dΩ brems
= Q2
( ˙⃗β
) 2
sin 2 θ
4πc (1 − β cos θ) 5
( ) 2
( ) 2
Q 2 ˙⃗β 1 − µ 2 Q 2 ˙⃗β
=
4πc (1 − βµ) 5 = i(µ) (6.105)
4πc
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