Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2 Mathematische Vorüberlegungen
führt.
Gemäß Gleichung (2.90) erhalten wir für den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
∆ψ =
1
r 2 sin θ
= 1 r 2 ∂
∂r
[ ( ∂
r 2 sin θ ∂ψ
∂r ∂r
(
r 2 ∂ψ
∂r
)
+
1
r 2 sin θ
)
+ ∂ (
sin θ ∂ψ
∂θ ∂θ
(
∂
sin θ ∂ψ
∂θ ∂θ
)
+
)
+ ∂ ( 1
∂φ sin θ
)]
∂ψ
∂φ
1 ∂ 2 ψ
r 2 sin 2 θ ∂φ 2 (2.97)
Übungsaufgaben:
A2.5.1) Berechnen Sie den Gradienten, die Divergenz, die Rotation und den Laplace-Operator
in Zylinderkoordinaten.
A2.5.2) Berechnen Sie den Gradienten, die Divergenz, die Rotation und den Laplace-Operator
in parabolischen Zylinderkoordinaten.
2.6 Integralrechnung mit Vektoren
Für skalare stetige Funktionen gilt, dass das Integral einer Ableitung über das Intervall [a, b]
durch den Wert der Funktion an den Endpunkten gegeben ist:
∫ b
a
( ) df
dx = f(b) − f(a) . (2.98)
dx
Bei Vektoren gibt es, wie angesprochen, drei Arten von Ableitungen (Gradient, Divergenz
und Rotation) und jede hat seine eigene Integrationsvorschrift.
2.6.1 Integration von Gradienten
Wir betrachten die skalare Funktion T (x, y, z) in den drei Variablen x, y und z. Wir beginnen
am Punkt a = (a x , a y , a z ) und bewegen uns eine kleine Strecke d ⃗ l 1 von ihm weg in Richtung
zum Punkt b = (b x , b y , b z ). Gemäß Gleichung (2.38) ist der Zuwachs dann durch dT =
( ⃗ ∇T ) · d ⃗ l 1 gegeben. Gehen wir ein kleines Stück d ⃗ l 2 weiter, ergibt sich der Zuwachs zu
dT = ( ⃗ ∇T ) · d ⃗ l 2 . Wir fahren fort, bis wir den Punkt b erreicht haben. Für die gesamte
änderung der Funktion T auf dem Weg von a nach b erhalten wir dann
∫ b
W eg a
( ⃗ ∇T ) · d ⃗ l = T (b) − T (a) . (2.99)
Weil der Wert der rechten Seite dieser Gleichung unabhängig vom eingeschlagenen Weg ist,
folgt
1. ∫ b
a (⃗ ∇T ) · d ⃗ l ist unabhängig vom Weg von a nach b
und
26