Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2.6 Integralrechnung mit Vektoren
z
dl
da
y
x
Abbildung 2.9: Wahl des Integrationsweges bei geschlossenen Linienintegralen nach der
Rechte-Hand-Regel
Das Wegintegral auf der rechten Seite von Gleichung (2.103) besteht aus den in Abbildung
2.10 gezeigten vier Anteilen (i)–(iv), die wir getrennt berechnen:
(i) Auf diesem Wegstück gilt x = 0 und z = 0 während y : 0 → 1 von 0 bis 1 läuft, wobei
dl = dy ist. Folglich ist hier ⃗v · d ⃗ l = v y dy| x=0,z=0 = 3y 2 dy und wir erhalten
∫
(i)
⃗v · d ⃗ l =
∫ 1
0
dy3y 2 = 1 .
(ii) Auf diesem Wegstück gilt x = 0 und y = 1 während z : 0 → 1 von 0 bis 1 läuft,
wobei dl = dz ist. Folglich ist hier ⃗v · d ⃗ l = v z dz| x=0,y=1 = 4yz 2 dz| x=0,y=1 = 4z 2 dz und wir
erhalten
∫ ∫ 1
⃗v · d ⃗ l = dz4z 2 = 4 3 .
(ii)
0
(iii) Auf diesem Wegstück gilt x = 0 und z = 1 während y : 1 → 0 von 1 bis 0 läuft, wobei
dl = dy ist. Folglich ist hier ⃗v · d ⃗ l = v y dy| x=0,z=1 = (2xz + 3y 2 )| x=0,z=1 dy = 3y 2 dy und
wir erhalten
∫
∫ 0
⃗v · d ⃗ l = dy3y 2 = −1 .
(iii)
1
(iv) Auf diesem Wegstück gilt x = 0 und y = 0 während z : 1 → 0 von 1 bis 0 läuft, wobei
dl = dz ist. Folglich ist hier ⃗v · d ⃗ l = v z dz| x=0,y=0 = 4yz 2 dz| x=0,y=0 = 0 und wir erhalten
∫
(iv)
Für das gesamte Wegintegral erhalten wir dann
∮
⃗v · d ⃗ l = 0 .
R
⃗v · d ⃗ l = 1 + 4 3 − 1 + 0 = 4 3 , 31