Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6.2 Inhomogene Wellengleichung
Beweis: mit
R
(t ′)
∣
∣⃗r − ⃗r 0
(t ′)∣ ∣ t ′ = t − = t −
= t − 1 √
(⃗r − ⃗r 0 (t ′ )) 2
c
c
(
c
folgt ∇r ⃗ t ′ = 0 − 1 ∇
c ⃗ (
(⃗r
r R t ′) = − 1 − ⃗r 0 t ′)) ·
(1 − ∇ ⃗ r ⃗r 0
(t ′))
c
⎡
(
= − 1 ∂⃗r 0
⎣ R ⃗ − R ⃗ ·
cR
∂t ′
t ′)
⃗ ∇r t ′ ⎤
⎦
√
(⃗r − ⃗r 0 (t ′ )) 2
= − 1 [ (
⃗R − R ⃗ · ⃗v0 t ′) ∇r ⃗ t ′] R
= ⃗ cR
R · ⃗β ∇ ⃗ r t ′ R
− ⃗ cR ,
oder nach Umstellen
so dass
[
1 − ⃗ R · ⃗β
R
]
⃗∇ r t ′ = − ⃗ R
cR ,
∇r ⃗
⃗R
⃗R
t ′ = − [ ]
R·⃗β
cR 1 − ⃗ = − [
R
c R − R ⃗ · ⃗β
]
Q.E.D.
Wir berechnen das Magnetfeld mit Hilfe von
Nun ist
⃗E = − 1 c
⃗B = ⃗ ∇ × ⃗ A =
(
⃗∇r t ′) ×
(
∂A
⃗ )
∂t ′
∂A
⃗
∂t − grad Φ = −1 ∂t ′
∂A
⃗ (
− ⃗∇r t ′) ∂Φ
,
c ∂t ∂t ′
∂t ′
so dass unter Verwendung der Hilfsformeln 1 und 2
∂A
⃗ = − c E
( ⃗ ) − c⃗ ∇ r t ′
( ) ∂Φ
∂t ′ ∂t
′ ∂t
′
∂t ′
∂t
= − R − ⃗ R · ⃗β
R
∂t
cE ⃗ − R − R ⃗ · ⃗β c
R
= − R − R ⃗ · ⃗β cE R
⃗ + R − R ⃗ · ⃗β
R
= − R − ⃗ R · ⃗β
R
cE ⃗ R
+ ⃗ ∂Φ
.
R ∂t ′
. (6.93)
(
⃗∇r t ′) ∂Φ
∂t ′
⃗R
[
R − R ⃗ · ⃗β
] ∂Φ
∂t ′
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