Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

8.1 Dielektrika im elektrostatischen Feld
Für n = 1 erhalten wir
ɛa 1 = −E 0 − 2c 1 R −3
oder a 1 = − 1 [
E 0 + 2c ]
1
ɛ R 3 . (8.29)
Für n ≠ 1 folgt
ɛna n R n−1 = −(n + 1)c n R −(n+2)
oder a n = − c n(n + 1)
R −(2n+1) . (8.30)
ɛn
Die Gleichungen (8.28) und (8.30) lassen sich nur erfüllen für
Aus Gleichungen (8.27) und (8.29) ergeben sich
Damit folgt für die Potentiale
a n = c n = 0, ∀n ≠ 1 . (8.31)
c 1 = ɛ − 1
ɛ + 2 R3 E 0 , a 1 = − 3E 0
ɛ + 2 .
Φ i (r ≤ R) = − 3
ɛ + 2 E 0rµ = − 3
ɛ + 2 E 0z (8.32)
und Φ o (r ≥ R) = −E 0 rµ + ɛ − 1
ɛ + 2 E 0
R 3
r 2 µ
= −E 0 z + ɛ − 1
ɛ + 2 E R 3 µ
0
r 2 . (8.33)
Innerhalb der Kugel beschreibt das Potential (8.32) ein konstantes elektrisches Feld parallel
zu E ⃗ 0 mit der Stärke
E i = E i,z = − ∂Φ i
∂z = 3E 0
ɛ + 2 < E 0 (8.34)
für ɛ > 1.
Im Außenraum ist das Feld gleich dem angelegten Feld ⃗ E 0 ‖ ⃗e z plus dem Feld eines Dipols
im Ursprung mit Stärke
∣ ∣∣ ⃗ E
∣ ∣∣ =
pµr
r 3 ,
d.h. dem Dipolmoment
p = ɛ − 1
ɛ + 2 R3 E 0 . (8.35)
Der Dipol ist in ⃗ E 0 -Richtung orientiert.
Aus Gleichungen (8.17) und (8.34) folgt für die Polarisation der Kugel
⃗P = ɛ − 1 E
4π ⃗ i = 3 ɛ − 1
E
4π ɛ + 2 ⃗ 0 , (8.36)
203