Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2.7 Dirac’s Delta-Funktion
wobei der Lapalace-Operator (2.66) eingeführt wurde. Es ergibt sich also der 1. Greensche
Satz zu
∫
∫
dF ⃗ · (u∇v) ⃗ [
= dV u ⃗ ( ) ( ) ( )]
∇ · ⃗∇v + ⃗∇u · ⃗∇v
F
∫V
[ ( ) ( )]
= dV u∆v + ⃗∇u · ⃗∇v . (2.107)
Vertauschen wir u und v in Gleichung (2.106), so erhalten wir
V
(
⃗∇ · v∇u
⃗ )
= v∇ ⃗ ( ) ( ) ( )
· ⃗∇u + ⃗∇v · ⃗∇u
Für die Differenz aus Gleichung (2.106) und Gleichung (2.108) folgt dann
[
⃗∇ · u∇v ⃗ − v∇u
⃗ ]
= u∇ ⃗ ( )
· ⃗∇v − v∇ ⃗ ( )
· ⃗∇u
. (2.108)
Integrieren wir diese Gleichung über das Volumen V und wenden den Gauß-Satz (2.101) an,
so folgt der 2. Greensche Satz:
∫ [
dV u ⃗ ( )
∇ · ⃗∇v − v ⃗ ( )] ∫
∇ · ⃗∇u = dV [u∆v − v∆u]
V
∫V
= dF ⃗ [
· u∇v ⃗ − v∇u
⃗ ]
. (2.109)
2.7 Dirac’s Delta-Funktion
2.7.1 Divergenz von ⃗e r /r 2
Wir betrachten die spezielle Vektorfunktion ⃗v = ⃗e r /r 2 , wobei ⃗e r = ⃗r/r den Einheitsvektor in
r-Richtung kennzeichnet. Nach der Skizze in Abbildung 2.11 sollte diese Funktion eine sehr
große positive Divergenz haben, da sie an allen Punkten radial nach außen auseinanderfliesst.
Berechnet man diese aber mit Gleichung (2.95) der Divergenz in Kugelkoordinaten, so folgt
⃗∇ · ⃗v = 1 ∂ (
r 2 ) 1 ∂
r 2 v r =
(r 2 1 )
∂r r 2 ∂r r 2 = 1 ∂
r 2 (1) = 0 . (2.110)
∂r
Mit dem Gauß-Theorem (2.101) erhalten wir für das Oberflächenintegral der Kugel mit dem
Radius R um den Ursprung
∮
⃗v · d⃗a =
∫ ( 1
R 2⃗e r
)
· (R 2 sin θdθdφ⃗e r
)
=
∫ π
während das Volumenintegral mit (2.110)
∫
dV ∇ ⃗ · ⃗v = 0
V
0
F
.
∫ π
dθ sin θ dφ = 4π , (2.111)
0
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