Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3 Elektrostatik
3.5.2 Feldverhalten an Grenzflächen
Das Verhalten des elektrostatischen Feldes ⃗ E (⃗r) an Grenzflächen, die eine Flächenladung σ
tragen, folgt aus den integralen Feldgleichungen. Dazu legen wir, wie in Abbildung 3.4
n
∆x
A
σ
E a
E i
Abbildung 3.4: Das Gaußsche Kästchen um eine Fläche A mit Oberflächenladung σ
skizziert, um die Fläche ein sogenanntes Gaußsches Kästchen mit dem Volumen ∆V . Die
Kästchenkante senkrecht zur Grenzfläche habe die Länge ∆x, die wir in einem Grenzprozess
gegen Null gehen lassen. Nach dem Gauß-Theorem gilt dann
∫
∮
d 3 r div E ⃗ (⃗r) = d⃗a · ⃗E
(
(⃗r) → A⃗n · ⃗Ea − E ⃗ )
i , (3.30)
∆V
S(∆V )
denn das Oberflächenelement d⃗a hat dann die Normalenrichtung ⃗n und die Fläche A. Ea ⃗
und E ⃗ i bezeichnen die Normalkomponenten des elektrischen Feldes außerhalb (oben) und
innerhalb (unten) der Grenzfläche.
Andererseits gilt nach dem Gauß-Gesetz (3.22)
∫
∫
d 3 r div E ⃗ (⃗r) = 4π d 3 rρ (⃗r) = 4πσA . (3.31)
∆V
Der Vergleich mit Gleichung (3.30) ergibt
(
⃗n · ⃗Ea − E ⃗ )
i = 4πσ , (3.32)
d.h. die Normalkomponente des elektrischen Feldes verhält sich an der Grenzfläche unstetig
wenn σ ≠ 0 ist.
Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes dagegen ist immer stetig. Dies folgt aus
der Anwendung von Gleichung (3.23)
∮
d⃗s · ⃗E (⃗r) = 0 ,
auf die in Abbildung 3.5 gezeigte dünne rechtwinklige Schleife, die durch die Grenzfläche
geht. Die Enden ∆x → 0 ergeben keinen Beitrag und die Seiten mit der Länge l ergeben
E ‖,a l − E ‖,i l = 0
oder E ‖,a = E ‖,i , (3.33)
∆V
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