Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

7.3 Relativistische Formulierung der Elektrodynamik
7.3.2 Kovariante Maxwellgleichungen und Feldstärketensor
Mit dem d‘Alembert-Operator ⊓ = ∂ ν ∂ ν schreiben wir Beziehung (7.33)
Aus der Lorenz-Eichung (7.35) ∂ ν A ν = 0 folgt
∂ ν ∂ ν A µ = 4π c jµ . (7.36)
∂ µ ∂ ν A ν = ∂ ν ∂ µ A ν = 0 .
Subtrahieren wir diese Gleichung von Gleichung (7.36), erhalten wir
∂ ν (∂ ν A µ − ∂ µ A ν ) = 4π c jµ ,
oder ∂ ν F νµ = 4π c jµ , (7.37)
wobei wir den kontravarianten Feldstärketensor einführen
⎛
⎞
0 −E x −E y −E z
F νµ ≡ ∂ ν A µ − ∂ µ A ν = ⎜E x 0 −B z B y
⎟
⎝E y B z 0 −B x
⎠ . (7.38)
E z −B y B x 0
Weil die rechte Seite von Gleichung (7.37) und ∂ ν kontravariante bzw. kovariante Vierer-
Vektoren sind, muss F νµ ein kontravarianter Lorentztensor 2. Stufe sein.
Der Feldstärketensor (7.38) entspricht der Berechnung der elektrischen und magnetischen
Feldstärken aus den Potentialen durch
⃗E = −grad Φ − 1 c
∂ ⃗ A
∂t , ⃗ B = rot ⃗ A .
Aus der Definition (7.38) folgt sofort, dass F νµ invariant unter der Eichtransformation
A µ → A µ − ∂ µ λ (7.39)
ist, wobei λ eine beliebige skalare Funktion bezeichnet.
Der kovariante Feldstärketensor ergibt sich mit dem metrischen Tensor gemäß Gleichung
(7.10) zu
⎛
⎞
0 E x E y E z
F αη = g αν g ηµ F νµ = ⎜−E x 0 −B z B y
⎟
⎝−E y B z 0 −B x
⎠ . (7.40)
−E z −B y B x 0
Die inhomogenen Maxwellgleichungen lassen sich aus den kovarianten Maxwellgleichungen
(7.37) ableiten. Für µ = 1 folgt mit j 1 = cρ
also div E = 4πρ .
4π
c j1 = 4πρ = ∂ ν F ν1 = ∂ 1 F 11 + ∂ 2 F 21 + ∂ 3 F 31 + ∂ 4 F 41
= 0 + ∂ x E x + ∂ y E y + ∂ z E z = div ⃗ E ,
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