Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

7.4 Lagrange- und Hamilton-Formalismus für Felder
−E ′ y = F ′ 13 = Λ 1 µΛ 3 νF µν = γΛ 3 νF 1ν − βγΛ 3 νF 2ν
= γF 13 − βγF 23 = γ ( F 13 − βF 23) = γ (−E y + βB z ) , (7.43)
−E ′ z = F ′ 14 = Λ 1 µΛ 4 νF µν = γΛ 4 νF 1ν − βγΛ 4 νF 2ν
γF 14 − βγF 24 = γ ( F 14 − βF 24) = γ (−E z − βB y ) , (7.44)
und B ′ z = F ′ 32
Insgesamt gilt also
B ′ x = F ′ 43 = Λ 4 µΛ 3 νF µν = Λ 3 νF 4ν = F 43 = B x , (7.45)
B ′ y = F ′ 24 = Λ 2 µΛ 4 νF µν
= −βγΛ 4 νF 1ν + γΛ 4 νF 2ν = −βγF 14 + γF 24
= γ ( F 24 − βF 14) = γ (B y + βE z ) (7.46)
= Λ 3 µΛ 2 νF µν = Λ 2 νF 3ν
= −βγF 31 + γF 32 = γ (B z − βE y ) . (7.47)
E ′ x = E x , E ′ y = γ (E y − βB z ) , E ′ z = γ (E z + βB y ) , (7.48)
und B ′ x = B x , B ′ y = γ (B y + βE z ) , B ′ z = γ (B z − βE y ) . (7.49)
In vektorieller Form lauten die Transformationsgleichungen
E ′ ‖
= E ‖ ,
B ′ ‖
= B ‖ ,
(
⃗E ′ ⊥ = γ E⊥ ⃗ + ⃗v )
c × B ⃗ ,
(
⃗B ′ ⊥ = γ B⊥ ⃗ − ⃗v )
c × E ⃗ . (7.50)
Beim Übergang zwischen zwei Inertialsystemen werden die Komponenten ⃗ E und ⃗ B des
Feldstärketensors gemischt transformiert. Ein reines elektrisches Feld im ungestrichenen System
wird als Gemisch von elektrischem und magnetischem Feld im gestrichenen System
erscheinen.
7.4 Lagrange- und Hamilton-Formalismus für Felder
In Kap. 5.8 haben wir gezeigt, dass sich die Lorentz-Kraft und damit die Bewegungsgleichung
für Ladungen im elektromagnetischen Feld aus der Lagrange-Funktion (5.79) oder der
Hamilton-Funktion (5.83) ableiten lässt. Aus der Mechanik-Vorlesung wissen wir, dass sich
die Lagrange-Gleichungen und die kanonischen Bewegungsgleichungen aus dem Hamilton-
Prinzip der kleinsten Wirkung,
∫ t2
δS = δ L (q 1 , . . . , q n , ˙q 1 , . . . , ˙q n , t) dt = 0 , (7.51)
t 1
185